资源描述
[基础达标]
1．(2021·高考北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|
解析：选C．A项，y＝是奇函数，故不正确；
B项，y＝e－x为非奇非偶函数，故不正确；
C，D两项中的两个函数都是偶函数，且y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函数．
2．(2022·辽宁大连市双基测试)下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )
A．y＝－ B．y＝log2|x|
C．y＝1－x2 D．y＝x3－1
解析：选C．函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B是偶函数但单调性不符合，只有选项C符合要求．
3．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－)＝( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选A．依题意得f(－)＝－f()＝－f(－2)＝－f()＝－2××(1－)＝－.
4．定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，则f(x)＝( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数
解析：选A．由于2⊕x＝，x⊗2＝，所以f(x)＝＝＝，该函数的定义域是[－2，0)∪(0，2]，且满足f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)是奇函数．
5．(2022·山东淄博一模)设定义在R上的奇函数y＝f(x)，满足对任意t∈R，都有f(t)＝f(1－t)，且x∈时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f的值等于( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选C．由f(t)＝f(1－t)得f(1＋t)＝f(－t)＝－f(t)，
所以f(2＋t)＝－f(1＋t)＝f(t)，所以f(x)的周期为2.
又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，
所以f(3)＋f(－)＝f(1)＋f＝0－＝－.
6．(2022·广东广州市高三班级调研)已知f(x)是奇函数，g(x)＝f(x)＋4，g(1)＝2，则f(－1)的值是________．
解析：∵g(x)＝f(x)＋4，∴f(x)＝g(x)－4，又f(x)是奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－g(1)＋4＝2.
答案：2
7．(2022·辽宁五校其次次联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f＝0，则不等式f(x)＞0的解集为________．
解析：由已知f(x)在R上为偶函数，且f＝0，
∴f(x)＞0等价于f(|x|)＞f，
又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴|x|＞， 即x＞或x＜－.
答案：{x|x＞或x＜－}
8．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是________．
解析：在f(x)－g(x)＝中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.于是解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，故f(1)＞g(0)＞g(－1)．
答案：f(1)＞g(0)＞g(－1)
9．已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且在区间[－2，0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值范围．
解：∵f(x)的定义域为[－2，2]，
∴有解得－1≤m≤.①
又f(x)为奇函数，且在[－2，0]上递减，
∴f(x)在[－2，2]上递减，
∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m＞m2－1，即－2＜m＜1.②
综合①②可知，－1≤m＜1.
即实数m的取值范围是[－1，1)．
10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又0≤x≤1时，
f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则－1≤x≤0时，f(x)＝x，则f(x)的图象如图所示．
当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
[力气提升]
1．(2022·河南洛阳市统考)已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝( )
A． B．－
C． D．－
解析：选C．依据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－(1＋h(a))＝2－f(a)＝2－＝.
2．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在[－1，3]上的解集为( )
A．(1，3) B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)
解析：选C．f(x)的图象如图．
当x∈(－1，0)时，解xf(x)＞0得x∈(－1，0)；
当x∈(0，1)时，解xf(x)＞0得x∈∅；
当x∈(1，3)时，解xf(x)＞0得x∈(1，3)．
故x∈(－1，0)∪(1，3)．
3．函数f(x)是R上的偶函数，且以2为周期，若f(x)在[－1，0]上是减函数，那么f(x)在[6，8]上是________(填代号)．
①增函数 ②减函数 ③先增后减函数 ④先减后增函数
⑤常数函数
解析：由f(x)是R上的偶函数，且在[－1，0]上是减函数，知f(x)在[0，1]上是增函数，可得到一个周期上的模拟图象，从而得到f(x)在[6，8]上的模拟图象，由图象知，先增后减，③正确．
答案：③
4．(2021·高考安徽卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．
解析：设－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，所以f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．又由于f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝＝－.
答案：－
5．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．
(1)求f(1)，f(－1)的值；
(2)推断函数f(x)的奇偶性．
解：(1)由于对定义域内任意x，y，
f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，
所以令x＝y＝1，得f(1)＝0，
令x＝y＝－1，得f(－1)＝0.
(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，
代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．
6．(选做题)(2022·山东菏泽一模)已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．
(1)求证：对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；
(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：若x1＋x2＝0，明显不等式成立．
若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，
∵f(x)在[－1，1]上是减函数且为奇函数，
∴f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，∴f(x1)＋f(x2)＞0.
∴[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，
同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.
∴[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
综上得证，对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．
(2)∵f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，∴由f(x)在定义域[－1，1]上是减函数得
即解得0≤a＜1.
故所求实数a的取值范围是[0，1)．
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