资源描述
[基础达标]
1．设f(x)是一条连续的曲线，且为偶函数，在对称区间[－a，a]上的定积分为f(x)dx，由定积分的几何意义和性质，得f(x)dx可表示为( )
A．－f(x)dx B．2f(x)dx
C．f(x)dx D．f(x)dx
解析：选B．偶函数的图象关于y轴对称，故f(x)dx对应的几何区域关于y轴对称，因而其可表示为2f(x)dx.
2．∫0(sin x－a cos x)dx＝2，则实数a等于( )
A．－1 B．1
C．－ D．
解析：选A．∫0(sin x－acos x)dx＝(－cos x－asin x)＝－a＋1＝2，a＝－1.
3．(2021·高考北京卷)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )
A． B．2
C． D．
解析：选C．
∵抛物线方程为x2＝4y，∴其焦点坐标为F(0，1)，故直线l的方程为y＝1.如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y＝x2的图象和x轴正半轴及直线x＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S＝4－2dx＝4－2·＝4－＝.
4．已知f(x)＝，若f(x)dx＝，则k的值为( )
A．0 B．0或－1
C．0或1 D．－1
解析：选B．∵f(x)dx＝(1＋x2)dx＝＜，∴当k≥2时，f(x)dx＜，∴k＜2，∴f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(x2＋1)dx＝，化简得k2＋k＝0，解得k＝0或k＝－1.
5．(2022·河北唐山模拟)已知f(x)＝2－|x|，则f(x)dx等于( )
A．3 B．4
C． D．
解析：选C．f(x)＝2－|x|＝
∴f(x)dx＝(2＋x)dx＋(2－x)dx
＝|＋|＝＋2＝.
6．(2022·湖南十校联合检测)(ex＋x)dx＝________．
解析：(ex＋x)dx＝(ex＋x2)|＝e＋－1＝e－.
答案：e－
7．设a＞0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a，则a＝________．
解析：S＝dx＝x|＝a＝a，解得a＝.
答案：
8．(2022·吉林试验中学高三模拟)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
解析：f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝|
＝a＋c＝f(x0)＝ax＋c，
∴x＝，x0＝±.又∵0≤x0≤1，∴x0＝.
答案：
9．求下列定积分．
(1)(x－x2＋)dx；
(2)(cos x＋ex)dx.
解：(1)(x－x2＋)dx＝xdx－x2dx＋dx
＝|－|＋ln x|＝－＋ln 2＝ln 2－.
(2)(cos x＋ex)dx＝cos xdx＋exdx
＝sin x|＋ex|＝1－.
10. 由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0，1)所围成的图形(如图阴影部分)，求其面积的最小值．
解：S1＝t3－x2dx＝t3－t3＝t3，
S2＝x2dx－(1－t)t2＝－t3－(1－t)t2
＝t3－t2＋，
S1＋S2＝t3－t2＋，t∈(0，1)．
可由导数求得当t＝时，S1＋S2取到最小值，其面积最小值为.
[力气提升]
1．已知A＝|x2－1|dx，则A等于( )
A．0 B．6
C．8 D．
解析：选D．A＝|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx＝(x－x3)1＝(1－)＋(6＋)＝.
2．设a＝dx, b＝dx，c＝dx，则下列关系式成立的是( )
A．＜＜ B．＜＜
C．＜＜ D．＜＜
解析：选C．由于a＝ dx＝ln x|＝ln 2，b＝ dx＝ln x|＝ln 3，c＝ dx＝ln x|＝ln 5，所以＝＝ln ，＝＝ln，＝＝ln .又()6＝23＝8，()6＝32＝9，所以＜.由于()10＝25＝32，()10＝52＝25，所以＜.综上，＜＜，所以＜＜.
3．已知f(a)＝(2ax2－a2x)dx，则函数f(a)的最大值为________．
解析：f(a)＝(2ax2－a2x)dx＝(ax3－a2x2)＝－a2＋a，由二次函数的性质可得f(a)max＝＝.
答案：
4．(2022·高考上海卷)已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0，0)、B、C(1，0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为__________．
解析：依据题意作出y＝f(x)的图象，如图(1)所示，
由图(1)可知，f(x)＝
∴y＝xf(x)＝作出函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象如图(2)所示．
函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形如图(2)阴影部分，
∴S阴影＝02x2dx＋1(－2x2＋2x)dx
＝x3|0－x3|1＋x2|1＝.
答案：
5．(2022·广东广州质检)已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋B．由f(－1)＝2，f′(0)＝0，
得即∴f(x)＝ax2＋2－A．
又f(x)dx＝(ax2＋2－a)dx
＝|＝2－a＝－2.
∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.
(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1，1]．
∴当x＝0时，f(x)min＝－4；
当x＝±1时，f(x)max＝2.
6. (选做题)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，直线l1：x＝2，直线l2：y＝－t2＋8t(其中0≤t≤2，t为常数)．若直线l1，l2与函数f(x)的图象以及l2，y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图阴影所示．
(1)求a，b，c的值；
(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式．
解：(1)由图形可知二次函数的图象过点(0，0)，(8，0)，
并且f(x)的最大值为16，
则解得
(2)由(1)得f(x)＝－x2＋8x，
由
得x2－8x－t(t－8)＝0，
∴x1＝t，x2＝8－t.
∵0≤t≤2，
∴直线l2与f(x)的图象的交点坐标为(t，－t2＋8t)．
由定积分的几何意义知：
S(t)＝[(－t2＋8t)－(－x2＋8x)]dx＋[(－x2＋8x)－(－t2＋8t)]dx
＝0t
＝－t3＋10t2－16t＋.
∴S(t)＝－t3＋10t2－16t＋(0≤t≤2)．
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