资源描述
[基础达标]
1．(2022·海淀区高三班级其次学期期中练习)已知a＞0，下列函数中，在区间(0，a)上确定是减函数的是( )
A．f(x)＝ax＋b B．f(x)＝x2－2ax＋1
C．f(x)＝ax D．f(x)＝logax
解析：选B．依题意得a＞0，因此函数f(x)＝ax＋b在区间(0，a)上是增函数；函数f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2(留意到其图象的对称轴是直线x＝a，开口方向向上)在区间(0，a)上是减函数；函数f(x)＝ax、f(x)＝logax在区间(0，a)上的单调性不确定(a与1的大小关系不确定)．综上所述，在区间(0，a)上确定是减函数的是f(x)＝x2－2ax＋1.
2．(2022·贵州贵阳质检)定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则( )
A．f(－1)＜f(3) B．f(0)＞f(3)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
解析：选A．依题意得f(3)＝f(1)，且－1＜1＜2，于是由函数f(x)在(－∞，2)上是增函数得f(－1)＜f(1)＝f(3)．
3．已知函数y＝log2(ax－1)在(1，2)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1] B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选C．要使y＝log2(ax－1)在(1，2)上单调递增，则a＞0且a－1≥0，∴a≥1.
4．(2022·山西运城模拟)已知函数f(x)＝则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A．若函数f(x)在R上递增，则需log21≥c＋1，则c≤－1.由于c＝－1⇒c≤－1，但c≤－1c＝－1，所以“c＝－1”是“f(x)在R上递增”的充分不必要条件．
5．(2022·吉林长春调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，假如x1＋x2＜0且x1x2＜0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．可能为0 B．恒大于0
C．恒小于0 D．可正可负
解析：选C．由x1x2＜0不妨设x1＜0，x2＞0.
∵x1＋x2＜0，∴x1＜－x2＜0.
由f(x)＋f(－x)＝0知f(x)为奇函数．
又由f(x)在(－∞，0)上单调递增得，
f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，
所以f(x1)＋f(x2)＜0.
6．函数y＝x－|1－x|的单调增区间为________．
解析：y＝x－|1－x|＝
作出该函数的图象如图所示．
由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
7．已知定义在R上的函数f(x)是增函数，则满足f(x)＜f(2x－3)的x的取值范围是________．
解析：依题意得，不等式f(x)＜f(2x－3)等价于x＜2x－3，由此解得x＞3，即满足f(x)＜f(2x－3)的x的取值范围是(3，＋∞)．
答案：(3，＋∞)
8．函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．
解析：由于y＝在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.
答案：3
9．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：任设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)任设1＜x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a＞0，x2－x1＞0，
∴要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，
∴a≤1.
故a的取值范围是(0，1]．
10．已知函数f(x)＝a－.
(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，
f(x)＝a－，
设0＜x1＜x2，则x1x2＞0，x2－x1＞0，
f(x2)－f(x1)＝－＝－＝＞0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由题意a－＜2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋，
则a＜h(x)在(1，＋∞)上恒成立．
任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1＜x2，
h(x1)－h(x2)＝(x1－x2).
∵1＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，
∴2－＞0，∴h(x1)＜h(x2)，
∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故a≤h(1)，即a≤3，
∴a的取值范围是(－∞，3]．
[力气提升]
1．(原创题)已知定义域为(0，＋∞)的单调函数f(x)，若对任意的x∈(0，＋∞)，都有f[f(x)－ex]＝e2＋2，则f(1)等于( )
A．e B．3
C．e＋1 D．e＋2
解析：选D．令f(x)－ex＝t(t＞0)，则f(x)＝ex＋t，所以f(t)＝et＋t＝e2＋2，t＝2，即f(x)＝ex＋2(x＞0)．故f(1)＝e＋2.
2．(2022·浙江省名校联考)设f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数，当n∈N*时，f(n)∈N*，且f[f(n)]＝2n＋1，则( )
A．f(1)＝3，f(2)＝4 B．f(1)＝2，f(2)＝3
C．f(2)＝4，f(4)＝5 D．f(2)＝3，f(3)＝4
解析：选B．由f[f(n)]＝2n＋1，得f[f(1)]＝3，f[f(2)]＝5.∵当n∈N*时，f(n)∈N*，若f(1)＝3，则由f[f(1)]＝3得，f(3)＝3，与f(x)在(0，＋∞)上单调递增冲突，故选项A错；若f(2)＝4，则f(4)＝5，4＜f(3)＜5，与f(3)∈N*冲突，故选项C错；若f(2)＝3，则由f[f(2)]＝5得f(3)＝5，故选项D错．
3．(2022·高考安徽卷)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________．
解析：f(x)＝|2x＋a|＝
作出函数图象(图略)，由图象知：
函数的单调递增区间为，∴－＝3，
∴a＝－6.
答案：－6
4．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如：函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．
给出下列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；
②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；
③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；
④在定义域上具有单调性的函数确定是单函数．
其中真命题是________(写出全部真命题的编号)．
解析：依据单函数的定义，函数是单函数等价于这个函数在其定义域内是单调的，故命题②④是真命题，①是假命题；依据一个命题与其逆否命题等价可知，命题③是真命题．
答案：②③④
5．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．
解：(1)证明：∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，
∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.
再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．
在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，
f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)
＝f(x1－x2)．
又∵当x＞0时，f(x)＜0，
而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
因此f(x)在R上是减函数．
(2)∵f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[－3，3]上也是减函数，
∴f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．
而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.
∴f(x)在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2.
6．(选做题)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab＞0，推断函数f(x)的单调性；
(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时x的取值范围．
解：(1)当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)．
∵2x1＜2x2，a＞0⇒a(2x1－2x2)＜0，
3x1＜3x2，b＞0⇒b(3x1－3x2)＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，函数f(x)在R上是增函数．
同理，当a＜0，b＜0时，函数f(x)在R上是减函数．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x＞0，
当a＜0，b＞0时，＞－，
则x＞log1.5；
当a＞0，b＜0时，＜－，
则x＜log1.5.
综上，当a＜0，b＞0时，x＞log1.5；
当a＞0，b＜0时，x＜log1.5.
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