资源描述
[基础达标]
1．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是( )
A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝ax2＋1
C．f(x)＝ax2＋x＋1 D．f(x)＝x2＋ax＋1
解析：选C．当a＝0时，f(x)＝ax2＋x＋1＝x＋1为一次函数，其定义域和值域都是R.
2．(2022·天津一模)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选A．∵3x＋1＞1，且y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)＞0，∴f(x)的值域为(0，＋∞)．
3．已知等腰△ABC周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，则函数的定义域为( )
A．R B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜5} D．
解析：选D．由题意知即＜x＜5.
4．(2022·湖南长沙模拟)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )
A．y＝
B．y＝(x∈(0，＋∞))
C．y＝(x∈N)
D．y＝
解析：选D．选项A中y可等于零；选项B中y明显大于1；选项C中x∈N，值域不是(0，＋∞)；选项D中|x＋1|＞0，故y＞0.
5．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是( )
解析：选A．A中定义域是[－2，2]，值域为[0，2]；B中定义域为[－2，0]，值域为[0，2]；C不表示函数；D中的值域不是[0，2]．
6．(2022·上海静安质检)函数y＝＋(x－1)0的定义域是________．
解析：由
得
故所求函数的定义域为{x|－3＜x＜2且x≠1}．
答案：{x|－3＜x＜2且x≠1}
7．(2022·温州模拟)若函数f(x)＝在区间[a，b]上的值域为，则a＋b＝________．
解析：∵由题意知x－1＞0，又x∈[a，b]，
∴a＞1.则f(x)＝在[a，b]上为减函数，
则f(a)＝＝1且f(b)＝＝，
∴a＝2，b＝4，a＋b＝6.
答案：6
8．(2022·福建厦门模拟)定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]，则函数f(x)的值域为________．
解析：由题意知，f(x)＝
当x∈[－2，1]时，f(x)∈[－4，－1]；当x∈(1，2]时，f(x)∈(－1，6]，故当x∈[－2，2]时，f(x)∈[－4，6]．
答案：[－4，6]
9．若函数f(x)＝x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b＞1)，求a，b的值．
解：∵f(x)＝(x－1)2＋a－，
∴其对称轴为x＝1.
即[1，b]为f(x)的单调递增区间．
∴f(x)min＝f(1)＝a－＝1，①
f(x)max＝f(b)＝b2－b＋a＝B．②
由①②解得
10．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x2－2)的值域．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意可知
整理得解得
∴f(x)＝x2＋x.
(2)由(1)知y＝f(x2－2)＝(x2－2)2＋(x2－2)
＝(x4－3x2＋2)＝－，
当x2＝时，y取最小值－.
故函数值域为.
[力气提升]
1．函数y＝2－的值域是( )
A．[－2，2] B．[1，2]
C．[0，2] D．[－，]
解析：选C．－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，
0≤≤2，
－2≤－≤0，
0≤2－≤2，所以0≤y≤2.
2．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f(x)－g(x)|≤1成立，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“亲热函数”，区间[a，b]称为“亲热区间”．若f(x)＝x2＋x＋2与g(x)＝2x＋1在[a，b]上是“亲热函数”，则其“亲热区间”可以是( )
A．[0，2] B．[0，1]
C．[1，2] D．[－1，0]
解析：选B．
在同一坐标系中作出函数f(x)及g(x)的图象，如图所示．
由题意作出与g(x)＝2x＋1的距离为1的平行线y＝2x＋2的图象，由图并结合“亲热函数”的定义可知其“亲热区间”可以是[0，1]．
3．假如函数f(x)的定义域为，那么函数y＝f(ax)＋f(a＞1)的定义域是________．
解析：解不等式组⇒
⇒－≤x≤.
答案：
4．已知函数f(x)的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数f(x＋2)的定义域为________，值域为________．
解析：由已知可得x＋2∈[0，1]，故x∈[－2，－1]，所以函数f(x＋2)的定义域为[－2，－1]．函数f(x)的图象向左平移2个单位得到函数f(x＋2)的图象，所以值域不发生变化，所以函数f(x＋2)的值域仍为[1，2]．
答案：[－2，－1] [1，2]
5．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．
解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，
∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0
⇒2a2－a－3＝0⇒a＝－1或a＝.
(2)∵对一切x∈R函数值均为非负，
∴Δ＝8(2a2－a－3)≤0⇒－1≤a≤.
∴a＋3＞0.
∴g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2
＝－＋.
∵二次函数g(a)在上单调递减，
∴g≤g(a)≤g(－1)，即－≤g(a)≤4.
∴g(a)的值域为.
6．(选做题)已知函数g(x)＝＋1，h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a为常数且a＞0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．
(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；
(2)当a＝时，求函数f(x)的值域．
解：(1)f(x)＝，x∈[0，a](a＞0)．
(2)当a＝时，函数f(x)的定义域为，
令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈，
f(x)＝F(t)＝＝，
当t＝时，t＝±2∉，
又t∈时，t＋单调递减，F(t)单调递增，F(t)∈.
即函数f(x)的值域为.
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