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第1讲 随机抽样
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．(2021·苏北四市调研)某林场有树苗3 000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长状况，接受分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为________．
解析 样本中松树苗的棵数为×400＝20.
答案 20
2．(2022·西安质检)现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③高新中学共有160名教职工，其中一般老师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
则完成3项抽样调查可实行的较为合理的抽样方法分别是________．
解析 对于①，个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，是简洁随机抽样；对于②，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内接受简洁随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号，是系统抽样；对于③，个体有明显的差异，所以选用分层抽样．
答案 ①简洁随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
3．某单位有840名职工，现接受系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________．
解析 由＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为＝＝12(人)．
答案 12
4．(2021·南通调研)某地区对两所高中学校进行同学体质状况抽测，甲校有同学800人，乙校有同学500人，现用分层抽样的方法在这1 300名同学中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取同学人数为________．
解析 在乙校应抽取同学人数为×500＝30.
答案 30
5．(2022·天津卷)某高校为了解在校本科生对参与某项社会实践活动的意向，拟接受分层抽样的方法，从该校四个班级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一班级、二班级、三班级、四班级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一班级本科生中抽取________名同学．
解析 由题意知应抽取人数为300×＝60.
答案 60
6．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，打算接受分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则其次车间生产的产品数为______．
解析 由于a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即其次车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，依据分层抽样的性质可知，其次车间生产的产品数占总数的三分之一，即为1 200双皮靴．
答案 1 200
7．(2021·青岛模拟)某班级有50名同学，现要实行系统抽样的方法在这50名同学中抽出10名同学，将这50名同学随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，其次组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的同学，则在第八组中抽得号码为________的同学．
解析 由于12＝5×2＋2，即第三组抽出的是其次个同学，所以每一组都相应抽出其次个同学，所以第8组中抽出的号码为5×7＋2＝37号．
答案 37
8. 200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽40名职工作样本，接受系统抽样方法，按1～200编号为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为______．若接受分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．
解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中抽取x人，则＝，解得x＝20.
答案 37 20
二、解答题
9．某初级中学共有同学2 000名，各班级男、女生人数如下表：
初一班级
初二班级
初三班级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校同学中随机抽取1名，抽到初二班级女生的概率是0.19.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名同学，问应在初三班级抽取多少名？
解 (1)∵＝0.19.∴x＝380.
(2)初三班级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名同学，应在初三班级抽取的人数为：×500＝12名．
10．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．
解 用分层抽样方法抽取．
具体实施抽取如下：
(1)∵20∶100＝1∶5，∴＝2，＝14，＝4，
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．
(2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后接受抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人接受00,01,02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．
(3)将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本．
力量提升题组
(建议用时：20分钟)
1．(2021·南京模拟)从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，接受系统抽样方法抽取容量为5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．
解析 由题意可知每一组有＝16个产品，所以样本编号构成以16为公差的等差数列，所以最大的编号为28＋16×3＝76.
答案 76
2．将参与夏令营的600名同学编号为001,002，…，600.接受系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名同学分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为________．
解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这600名同学按编号依次分成50组，每一组各有12名同学，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300得k≤，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495得<k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－(25＋17)＝8.
答案 25,17,8
3．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号挨次平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定假如在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________．
解析 由题意知：m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.
答案 76
4．某大路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参与市里召开的科学技术大会．假如接受系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，假如参会人数增加1个，则在接受系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n.
解 总体容量为6＋12＋18＝36.
当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的工程师人数为×6＝，技术员人数为×12＝，技工人数为×18＝，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18.
当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，由于必需是整数，所以n只能取6.即样本容量n＝6.
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