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课时提升作业(三十七)
一、选择题
1.若原点在圆(x-m)2+(y+m)2=8的内部,则实数m的取值范围是( )
(A)-2<m<2 (B)0<m<2
(C)-2<m<2 (D)0<m<2
2.(2021·珠海模拟)已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为( )
(A)(-1,1) (B)(-1,0)
(C)(1,-1) (D)(0,-1)
3.(2021·长春模拟)已知点M是直线3x+4y-2=0上的动点,点N为圆(x+1)2+(y+1)2=1上的动点,则|MN|的最小值是( )
(A) (B)1 (C) (D)
4.(2021·肇庆模拟)在同一坐标系下,直线ax+by=ab和圆(x-a)2+(y-b)2=r2(ab≠0,r>0)的图象可能是( )
5.(2021·长沙模拟)圆C1:x2+y2+2x-3=0和圆C2:x2+y2-4y+3=0的位置关系为
( )
(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内含
6.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为( )
(A)(x+1)2+y2=2 (B)(x-1)2+y2=2
(C)(x+1)2+y2=4 (D)(x-1)2+y2=4
7.设O为坐标原点,C为圆(x-2)2+y2=3的圆心,且圆上有一点M(x,y)满足·=0,则=( )
(A) (B)或-
(C) (D)或-
8.已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by=r2,那么( )
(A)m∥l,且l与圆相交
(B)m⊥l,且l与圆相切
(C)m∥l,且l与圆相离
(D)m⊥l,且l与圆相离
二、填空题
9.(2021·苏州模拟)直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A,B两点且|AB|=2,则a= .
10.若圆x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0关于直线x-y+1=0对称,则实数a的值为 .
11.(力气挑战题)与直线l:x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是 .
12.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是 .
三、解答题
13.圆C通过不同的三点P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圆C在点P处的切线斜率为1,试求圆C的方程.
14.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,圆O2的圆心坐标为(2,1).若两圆相交于A,B两点,且|AB|=4,求圆O2的方程.
15.(力气挑战题)已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切.
(1)求直线l1的方程.
(2)设圆O与x轴交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P',直线QM交直线l2于点Q'.
求证:以P'Q'为直径的圆C总经过定点,并求出定点坐标.
答案解析
1.【解析】选C.由已知得m2+m2<8,即m2<4,解得-2<m<2.
2.【解析】选D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r==,
当k=0时,rmax==1,
此时圆的方程为x2+y2+2y=0,
即x2+(y+1)2=1,∴圆心为(0,-1).
3.【解析】选C.圆心(-1,-1)与点M的距离的最小值为点(-1,-1)到直线的距离d==,故点N与点M的距离的最小值|MN|=d-1=.
4.【解析】选D.逐一依据a,b的几何意义验证知选项D中,直线ax+by=ab,即+=1在x,y轴上的截距分别为b<0和a>0时,D中圆的圆心亦为b<0和a>0.
5.【解析】选B.圆C1方程可化为(x+1)2+y2=4,其圆心C1(-1,0),半径r1=2,
圆C2方程可化为x2+(y-2)2=1,其圆心C2(0,2),半径r2=1.
∴|C1C2|==,r1+r2=3,r1-r2=1,
∴r1-r2<|C1C2|<r1+r2,故两圆相交.
6.【思路点拨】依据几何性质由题意求圆心,由相切求出半径.
【解析】选A.直线x-y+1=0,令y=0得x=-1,所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),由于直线x+y+3=0与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即r==,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.
7.【解析】选D.∵·=0,∴OM⊥CM,
∴OM是圆的切线,设OM的方程为y=kx,
由=,得k=±,即=±.
8.【解析】选C.直线m的方程为y-b=-(x-a),
即ax+by-a2-b2=0,
∵P在圆内,∴a2+b2<r2,∴m∥l,
∵圆心到直线l的距离d=>r,
∴直线l与圆相离.
9.【解析】圆的圆心为M(1,2),半径r=2,由于|AB|=2,所以圆心到直线的距离d===1,即=1,所以|a+1|=,平方得a2+2a+1=a2+1,解得a=0.
答案:0
10.【解析】依题意知直线x-y+1=0经过圆x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0的圆心(-,-a),
所以-+a+1=0,解得a=3或a=-1,
当a=-1时,方程x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0不能表示圆,所以只能取a=3.
答案:3
11.【思路点拨】最小圆的圆心确定在过x2+y2-12x-12y+54=0的圆心与直线x+y-2=0垂直的垂线段上.
【解析】∵圆A:(x-6)2+(y-6)2=18,
∴A(6,6),半径r1=3,且OA⊥l,A到l的距离为5,明显所求圆B的直径2r2=2,即r2=,
又OB=OA-r1-r2=2,由与x轴正半轴成45°角,
∴B(2,2),∴方程为(x-2)2+(y-2)2=2.
答案:(x-2)2+(y-2)2=2
12.【解析】画图可知,圆上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,该圆的半径为2,即圆心O(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离d<1,即0≤<1,
∴-13<c<13.
答案:(-13,13)
【变式备选】若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线相互垂直,则线段AB的长是 .
【解析】依题意得|OO1|==5,且△OO1A是直角三角形,
=··|OO1|=·|OA|·|AO1|,因此|AB|===4.
答案:4
13.【解析】设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则k,2为x2+Dx+F=0的两根,
∴k+2=-D,2k=F,即D=-(k+2),F=2k.
又圆过R(0,1),故1+E+F=0.
∴E=-2k-1.
故所求圆的方程为
x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,
圆心坐标为(,).
∵圆C在点P处的切线斜率为1,
∴kCP=-1=,∴k=-3,∴D=1,
E=5,F=-6.
∴所求圆C的方程为x2+y2+x+5y-6=0.
14.【解析】设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0).
∵圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,
∴直线AB的方程为4x+4y+r2-10=0.
圆心O1到直线AB的距离d=,
由d2+22=6,得=2,
∴r2-14=±8,r2=6或22.
故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22.
【方法技巧】求解相交弦问题的技巧
把两个圆的方程进行相减得:x2+y2+D1x+E1y+F1-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 ①
我们把直线方程①称为两圆C1,C2的根轴,
当两圆C1,C2相交时,方程①表示两圆公共弦所在的直线方程;
当两圆C1,C2相切时,方程①表示过圆C1,C2切点的公切线方程.
15.【解析】(1)∵直线l1过点A(3,0),且与圆C:x2+y2=1相切,设直线l1的方程为y=k(x-3)(斜率不存在时,明显不符合要求),即kx-y-3k=0,
则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d==1,
解得k=±,∴直线l1的方程为y=±(x-3).
(2)对于圆方程x2+y2=1,
令y=0,得x=±1,故可令P(-1,0),Q(1,0).
又直线l2过点A且与x轴垂直,
∴直线l2的方程为x=3,
设M(s,t),则直线PM的方程为y=(x+1).
解方程组得P'(3,).
同理可得,Q'(3,),
∴以P'Q'为直径的圆C的方程为
(x-3)(x-3)+(y-)(y-)=0,
又s2+t2=1,∴整理得(x2+y2-6x+1)+y=0,
若圆C经过定点,只需令y=0,
从而有x2-6x+1=0,解得x=3±2,
∴圆C总经过定点,坐标为(3±2,0).
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