资源描述
[基础达标]
1．若loga(2a)＝2，则loga(2＋a)＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B．由loga(2a)＝2得a2＝2a，由于a＞0，a≠1，所以a＝2，所以loga(2＋a)＝log24＝2.
2．函数y＝lg的大致图象为( )
解析：选D．由于y＝lg是单调递减的偶函数，关于y轴对称，则y＝lg的图象是由y＝lg的图象向左平移一个单位长度得到的．
3．(2022·宁夏银川质检)设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
解析：选C．由题意可得或解得a＞1或－1＜a＜0.
4．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
解析：选D．a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，
b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，
c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，
∵log32>log52>log72，∴a>b>C．
5．若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则a的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0，)
C．(，1) D．(0，1)∪(1，＋∞)
解析：选C．由题意得a＞0，故必有a2＋1＞2a，
又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a＜1，
同时2a＞1，∴a＞，综上，a∈(，1)．
6．(2021·高考安徽卷)函数y＝ln(1＋)＋的定义域为________．
解析：要使函数有意义，需即即解得0<x≤1，所以定义域为(0，1]．
答案：(0，1]
7．设函数f(x)满足f(x)＝1＋f()log2x，则f(2)＝________．
解析：由已知得f()＝1－f()·log22，则f()＝，则f(x)＝1＋·log2x，故f(2)＝1＋·log22＝.
答案：
8．函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．
解析：令u＝x2－2x，则y＝log3u.
∵y＝log3u是增函数，u＝x2－2x＞0的减区间是(－∞，0)，
∴y＝log3(x2－2x)的减区间是(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
9．计算：
(1)(lg－lg 25)÷100－；
(2)2(lg )2＋lg ·lg 5＋.
解：(1)(lg－lg 25)÷100－＝－2×
＝－2×lg 10÷＝－20.
(2)原式＝lg(2lg＋lg 5)＋
＝lg(lg 2＋lg 5)＋|lg－1|＝lg·lg(2×5)＋1－lg＝1.
10．(2022·吉林长春模拟)设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值．
解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，a≠1)，∴a＝2.
由得x∈(－1，3)，
∴函数f(x)的定义域为(－1，3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
函数f(x)在[0，]上的最大值是f(1)＝log24＝2.
[力气提升]
1．(2021·高考天津卷)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A．[1，2] B．
C． D．(0，2]
解析：选C．∵f(loga)＝f(－log2a)＝f(log2a)，∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.∵f(x)是偶函数，∴f(log2a)≤f(－1)．又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.综上可知≤a≤2.
2．下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( )
A．(－∞，1] B．[－1，]
C．[0，) D．[1，2)
解析：选D．法一：当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x≤1，即1≤x＜2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1，2)上单调递增．
法二：f(x)＝|ln(2－x)|的图象如图所示．
由图象可得，函数f(x)在区间[1，2)上为增函数．
3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．
解析：由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m，
又＋＝2，即＋＝2，
∴＝2，即m＝.
答案：
4．(2022·河南郑州模拟)已知函数y＝F(x)的图象与函数y＝2－x－1的图象关于直线y＝x对称，则F(3)＝________．
解析：由题意y＝F(x)的图象与函数y＝2－x－1的图象关于直线y＝x对称，令F(3)＝a，则点(a，3)必在函数y＝2－x－1的图象上，所以2－a－1＝3，解得a＝－2，即F(3)＝－2.
答案：－2
5．已知函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x.
(1)推断函数的奇偶性；
(2)若y＝f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．
解：(1)函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x的定义域为R.
又f(－x)＝log(a2－3a＋3)－x
＝－log(a2－3a＋3)x＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
(2)函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则y＝(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上为增函数，
由指数函数的单调性，知a2－3a＋3＞1，
解得a＜1或a＞2.
所以a的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．
6．(选做题)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：(1)∵f(1)＝1，
∴log4(a＋5)＝1，
因此a＋5＝4，a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，
函数f(x)的定义域为(－1，3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，
则g(x)在(－1，1)上递增，在(1，3)上递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，递减区间是(1，3)．
(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有解得a＝.
故存在实数a＝使f(x)的最小值为0.
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