资源描述
习题课(2)
课时目标 1.能由简洁的递推公式求出数列的通项公式.2.把握数列求和的几种基本方法．
1．等差数列的前n项和公式：Sn＝__________＝____________.
2．等比数列前n项和公式：
①当q＝1时，Sn＝______；
②当q≠1时，Sn＝____________＝__________.
3．数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝____________.
4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：
(1)＝__________；
(2)＝________________；
(3)＝__________.
一、选择题
1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于( )
A．1 B.
C. D.
2．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为( )
A．11 B．99 C．120 D．121
3．数列1，2，3，4，…的前n项和为( )
A.(n2＋n＋2)－ B.n(n＋1)＋1－
C.(n2－n＋2)－ D.n(n＋1)＋2(1－)
4．已知数列{an}的通项an＝2n＋1，由bn＝所确定的数列{bn}的前n项之和是( )
A．n(n＋2) B.n(n＋4)
C.n(n＋5) D.n(n＋7)
5．已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
6．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于( )
A．2n－1 B．2n－1－1
C．2n＋1 D．4n－1
二、填空题
7．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项是________．
8．在数列{an}中，an＋1＝，对全部正整数n都成立，且a1＝2，则an＝______.
9．在100内全部能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________．
10．数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝Sn (n≥1)，则an＝____________.
三、解答题
11．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.
12．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
力气提升
13．已知正项数列{an}的前n项和Sn＝(an＋1)2，求{an}的通项公式．
14．在数列{an}中，an＋1＝3a，a1＝3.求an.
1．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简洁的递推公式可以求得数列的通项公式．其中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法．
2．求数列前n项和，一般有下列几种方法：错位相减、分组求和、拆项相消、奇偶并项等，学习时留意依据题目特点机敏选取上述方法．
习题课(2)
答案
学问梳理
1. na1＋d 2.①na1 ② 3. 4.(1)－ (2)(－) (3)－
作业设计
1．B [∵an＝＝－，
∴S5＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.]
2．C [∵an＝＝－，∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.]
3．A [1＋2＋3＋…＋(n＋)
＝(1＋2＋…＋n)＋(＋＋…＋)
＝＋
＝(n2＋n)＋1－
＝(n2＋n＋2)－.]
4．C [a1＋a2＋…＋an＝(2n＋4)＝n2＋2n.∴bn＝n＋2，∴bn的前n项和Sn＝.]
5．B [S17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9，
S33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17，
S50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25，所以S17＋S33＋S50＝1.]
6．A [由于an－an－1＝1×2n－1＝2n－1，那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1.]
7．－6
8.
解析 ∵an＋1＝，∴＝＋.∴是等差数列且公差d＝.
∴＝＋(n－1)×＝＋＝，∴an＝.
9．1 473
解析 100内全部能被3整除的数的和为：S1＝3＋6＋…＋99＝＝1 683.
100内全部能被21整除的数的和为：S2＝21＋42＋63＋84＝210.
∴100内能被3整除不能被7整除的全部正整数之和为S1－S2＝1 683－210＝1 473.
10.
解析 an＋1＝Sn，an＋2＝Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝(Sn＋1－Sn)＝an＋1，
∴an＋2＝an＋1 (n≥1)．∵a2＝S1＝，∴an＝.
11．解 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以
解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
所以，an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.
(2)由(1)知an＝2n＋1，
所以bn＝＝＝·＝·，
所以Tn＝·(1－＋－＋…＋－)＝·(1－)＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝.
12．解 (1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1， ①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1. ②
①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，
即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
13．解 当n＝1时，a1＝S1，所以a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2＝(a－a＋2an－2an－1)，
∴a－a－2(an＋an－1)＝0，
∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
∵an＋an－1>0，∴an－an－1－2＝0.∴an－an－1＝2.
∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
14．解 由已知，an>0，对an＋1＝3a两边取常用对数得：
lg an＋1＝2lg an＋lg 3.
令bn＝lg an.则bn＋1＝2bn＋lg 3.
∴bn＋1＋lg 3＝2(bn＋lg 3)．∴{bn＋lg 3}是等比数列，
首项是b1＋lg 3＝lg 3＋lg 3＝2lg 3.
∴bn＋lg 3＝2n－1·(b1＋lg 3)＝2nlg 3，
∴bn＝(2n－1)lg 3＝lg＝lg an，∴an＝lg.
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