2020年数学文(广西用)课时作业：第五章-第二节平面向量的数量积.docx

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课时提升作业(二十五)
一、选择题
1.(2021·梧州模拟)设e1和e2是相互垂直的单位向量,且a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,则a·b等于(　　)
(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2
2.(2021·桂林模拟)已知向量a=(2x-3,1),b=(x,-2),若a·b≥0,则实数x的取值范围是(　　)
(A)[-,2]
(B)(-∞,-]∪[2,+∞)
(C)[-2,]
(D)(-∞,-2]∪[,+∞)
3.(2022·辽宁高考)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是(　　)
(A)a∥b (B)a⊥b
(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b
4.在平面直角坐标系xOy中作矩形OABC,已知|OA|=4,|AB|=3,则·的值为
(　　)
(A)0 (B)7 (C)25 (D)-7
5.(2021·南宁模拟)已知向量a=(4,3),b=(-2,1),假如向量a+λb与b垂直,则|2a-λb|的值为(　　)
(A)1 (B) (C)5 (D)5
6.向量a=(-1,1),且a与a+2b方向相同,则a·b的范围是(　　)
(A)(1,+∞) (B)(-1,1)
(C)(-1,+∞) (D)(-∞,1)
7.设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线,则必有
(　　)
(A)a⊥b (B)a∥b
(C)|a|=|b| (D)|a|≠|b|
8.(2022·大纲版全国卷)△ABC中,AB边的高为CD,若=a,=b,a·b=0,|a|=1,
|b|=2,则=(　　)
(A)a-b (B)a-b
(C)a-b (D)a-b
9.在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边,设向量m=(b-c,c-a),
n=(b,c+a),若m⊥n,则角A的大小为(　　)
(A) (B) (C) (D)
10.(力气挑战题)如图,已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B.且⊥,则向量的坐标为(　　)

(A)(-,) (B)(-,) (C)(-,) (D)(-,)
二、填空题
11.(2021·柳州模拟)已知向量a=(3,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)⊥c,则m=　　　　.
12.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是　　　　.

13.以下命题:①若|a·b|=|a|·|b|,则a∥b;②a=(-1,1)在b=(3,4)方向上的投影为;③若△ABC中,a=5,b=8,c=7,则·=20;④若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则|2b|>|a+2b|.其中全部真命题的序号是　　　　.
14.(力气挑战题)给定两个长度为1的平面对量和,它们的夹角为90°.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动,若=x+y,其中x,y∈R,则xy的范围是　　　　.

三、解答题
15.已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),·=5, =10.
(1)求D点的坐标.
(2)设=(m,2),若3+与垂直,求的坐标.

答案解析
1.【解析】选B.由题意可得a=(3,2),b=(-3,4),
∴a·b=3×(-3)+2×4=-9+8=-1.
2.【解析】选B.∵a·b=x(2x-3)-2×1=2x2-3x-2,
又∵a·b≥0,∴2x2-3x-2≥0.
即(2x+1)(x-2)≥0,解得x≤-或x≥2.
3.【思路点拨】将所给等式两边平方,找到两个向量的关系.
【解析】选B.|a+b|=|a-b||a+b|2=|a-b|2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2
a·b=0a⊥b.
【变式备选】已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为,那么下列结论中确定成立的是(　　)
(A)a=b (B)|a|=|b|
(C)a⊥b (D)a∥b
【解析】选B.由条件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|.
4.【解析】选D.·=(-)·(+)=||2-||2=32-42=-7.
5.【解析】选D.由题意可得a+λb=(4-2λ,3+λ),
∵(a+λb)⊥b,∴(-2)(4-2λ)+(3+λ)=0
∴5λ-5=0,即λ=1,∴2a-λb=(10,5),
∴|2a-λb|===5.
6.【解析】选C.∵a与a+2b同向,
∴可设a+2b=λa(λ>0),
则有b=a.又∵|a|==,
∴a·b=·|a|2=×2=λ-1>-1,
∴a·b的范围是(-1,+∞),故应选C.
7.【解析】选A.f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线,即f(x)的表达式是关于x的一次函数.
而(xa+b)·(a-xb)=x|a|2-x2a·b+a·b-x|b|2,
故a·b=0.又∵a,b为非零向量,
∴a⊥b,故应选A.
8.【解析】选D.
如图,∵a·b=0,∴a⊥b,∴∠ACB=90°,
∴AB==,
又∵CD⊥AB,∴AC2=AD·AB,∴AD=.
∴==(a-b)=a-b.
9.【解析】选B.由m⊥n可得m·n=0,
即(b-c)b+(c-a)(c+a)=0,
∴b2-bc+c2-a2=0.
由余弦定理得cosA==,
所以A=.
10.【解析】选B.依题意设B(cosθ,sinθ),0≤θ≤π.
则=(1,1),=(cosθ,sinθ).
由于⊥,所以·=0,
即cosθ+sinθ=0,解得θ=,
所以=(-,).
【方法技巧】解题时引入恰当的参数θ是解题的关键,进而可利用三角函数求得点B的坐标,可将问题转化为向量的坐标运算问题来解决.
11.【解析】∵a=(3,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),
∴a+b=(2,m-1).
∵(a+b)⊥c,
∴2×(-1)+2(m-1)=0,解得m=2.
答案:2
12.【思路点拨】设PO=x(0≤x≤3),运用向量的数量积转化为函数学问求解.
【解析】设PO=x,则PC=3-x(0≤x≤3),
则(+)·=2·=2·x·(3-x)·
cosπ=2x(x-3)=2(x-)2-.
∵0≤x≤3,
∴当x=时,(+)·有最小值-.
答案:-
13.【解析】①中,由|a·b|=|a||b||cos<a,b>|=|a||b|,知cos<a,b>=±1.故<a,b>=0或<a,b>=π,所以a∥b,故正确;②中a在b方向上的投影为|a|·cos<a,b>=|a|·=,故正确;③中,由余弦定理得cosC==,故·=-·=-5×8×=-20,故错误;④中,由|a+b|=|b|知|b|+|a+b|=|b|+|b|,∴|2b|=|b|+|a+b|≥|b+a+b|=|a+2b|,故错误.
答案:①②
14.【解析】由=x+y,得
=x2+y2+2xy·.
又||=||=||=1,·=0,
∴1=x2+y2≥2xy,得xy≤,
而点C在以O为圆心的圆弧上运动,得x,y∈[0,1],于是0≤xy≤.
答案:[0,]
15.【解析】(1)设D(x,y),=(1,2),=(x+1,y).
由题得

∴或
∴D点的坐标为(-2,3)或(2,1).
(2)∵3+=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),=(m,2),
∵3+与垂直,∴(3+)·=0,
∴m+14=0,∴m=-14,∴=(-14,2).
【变式备选】在平面直角坐标系中,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t)(0≤θ≤).
(1)若⊥a,且||=||(O为坐标原点),求向量.
(2)若向量与向量a共线,当k>4,且tsinθ取最大值4时,求·.
【解析】(1)可得=(n-8,t),
∵⊥a,
∴·a=(n-8,t)·(-1,2)=0,
得n=2t+8,
则=(2t,t).
又||=||,||=8.
∴(2t)2+t2=5×64,解得t=±8,
当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8.
∴=(24,8)或=(-8,-8).
(2)∵向量与向量a共线,
∴t=-2ksinθ+16,
tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ
=-2k(sinθ-)2+.
∵k>4,∴0<<1,故当sinθ=时,tsinθ取最大值,有=4,得k=8.
这时,sinθ=,k=8,tsinθ=4,得t=8,
则=(4,8),
∴·=(8,0)·(4,8)=32.
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