1、第九节圆锥曲线的热点问题(理)第八节圆锥曲线的热点问题(文)第一课时直线与圆锥曲线的位置关系时间：45分钟分值：100分 一、选择题1直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为()A1 B1或3C0 D1或0解析由得k2x2(4k8)x40，若k0，则y2，若k0，若0，即6464k0，解得k1，因此直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k0或1.答案D2椭圆1的离心率为e，点(1，e)是圆x2y24x4y40的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是()A3x2y40 B4x6y70C3x2y20 D4x6y10解析依题意得e，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点
2、的连线的斜率为，所求直线的斜率为，所以所求直线方程是y(x1)即4x6y70.答案B3经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，则等于()A3 BC或3 D解析依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y0tan45(x1)，即yx1，代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以两个交点坐标分别为(0，1)，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得.答案B4过抛物线y22px(p0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若(1)，则的值为()A5 B4C. D.解析依据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，故y1y
3、2，即.设直线AB的方程为y，联立直线与抛物线方程，消元得y2pyp20.故y1y2p，y1y2p2，2，即2.又1，故4.答案B5(2021济南模拟)若双曲线1(a0，b0)与直线yx无交点，则离心率e的取值范围是()A(1,2) B(1,2C(1，) D(1，解析由于双曲线的渐近线为yx，要使直线yx与双曲线无交点，则直线yx应在两渐近线之间，所以有，即ba，所以b23a2，c2a23a2，即c24a2，e24，所以1b0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为_解析由题意得解得椭圆C的方程为1.答案18直线l：x1与椭圆x21交于A，B两
4、点，O为原点，则OAB的面积为_解析l过椭圆的顶点(1,0)和(0,2)，SOAB211.答案19已知曲线1与直线xy10相交于P，Q两点，且0(O为原点)，则的值为_解析设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意得则(ba)x22axaab0.所以x1x2，x1x2，y1y2(1x1)(1x2)1(x1x2)x1x2，依据0，得x1x2y1y20，得1(x1x2)2x1x20，因此120，化简得2，即2.答案2三、解答题10已知直线l：yx，圆O：x2y25，椭圆E：1(ab0)的离心率e，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条
5、切线，若切线都存在斜率，求证：两切线斜率之积为定值解(1)设椭圆半焦距为c，圆心O到l的距离d，所以b.由题意得又b，a23，b22.椭圆E的方程为1.(2)证明：设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为yy0k(xx0)，联立直线l0与椭圆E的方程得把ykx(y0kx0)代入1，消去y得(32k2)x24k(y0kx0)x2(kx0y0)260，l0与椭圆E相切4k(y0kx0)24(32k2)2(kx0y0)260，整理得(2x)k22kx0y0(y3)0，设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1k2.点P在圆O上，xy5，k1k21.两条切线斜率之积为常数
6、1.11如图，椭圆长轴的端点为A，B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且1，|1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)设椭圆方程为1(ab0)，则c1，又(ac)(ac)a2c21.a22，b21.故椭圆的方程为y21.(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为PQM的垂心，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(0,1)，F(1,0)，直线l的斜率k1.于是设直线l为yxm，由得3x24mx2m220，x1x2m，x1x2.x1(x21)y2(y
7、11)0.又yixim(i1,2)，x1(x21)(x2m)(x1m1)0，即2x1x2(x1x2)(m1)m2m0.将代入得2(m1)m2m0，解得m或m1，经检验m符合条件故存在直线l，使点F恰为PQM的垂心，直线l的方程为yx. 1已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：ykx与椭圆C交于A，B两点，是否存在k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解(1)设椭圆的焦半距为c，则由题设得解得故所求C的方程为x21.(2)存在k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O
8、.理由如下：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线l的方程ykx代入x21并整理得(k24)x22kx10.(*)则x1x2，x1x2.由于以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以0，即x1x2y1y20.又y1y2k2x1x2k(x1x2)3，即y1y23，于是有0，解得k.经检验知：此时(*)的判别式0，适合题意即(*)的判别式0恒成立所以当k时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.2已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：x24y有一个相同的焦点F1，直线l：y2xm与抛物线C2只有一个公共点(1)求直线l的方程；(2)若椭圆C1经过直线l上的点P，当椭圆C1的离心
9、率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点P的坐标解(1)由消去y，得x28x4m0，直线l与抛物线C2只有一个公共点，8244m0，解得m4.直线l的方程为y2x4.(2)抛物线C2的焦点为F1(0,1)，依题意知椭圆C1的两个焦点的坐标为F1(0,1)，F2(0，1)设椭圆C1的方程为1(a1)，由消去y，得(5a24)x216(a21)x(a21)(16a2)0.(*)由162(a21)24(5a24)(a21)(16a2)0，得a44a20(a20且a210)，解得a24.a1，a2，e.当a2时，emax，此时椭圆C1的方程为1.把a2代入方程(*)，解得x.又y2x4，y1，点P的坐标为.
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