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其次节 直线的交点与距离公式
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．若l1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l2：mx＋2y＋6＝0的图象是两条平行直线，则m的值是( )
A．m＝1或m＝－2 B．m＝1
C．m＝－2 D．m的值不存在
解析 方法一：据已知若m＝0，易知两直线不平行，若m≠0，则有＝≠⇒m＝1或m＝－2.
方法二：由1×2＝(1＋m)m，得m＝－2或m＝1.
当m＝－2时，l1：x－y－4＝0，l2：－2x＋2y＋6＝0，平行．
当m＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y＋6＝0，平行．
答案 A
2．已知直线ax＋y＋5＝0与x－2y＋7＝0垂直，则a为( )
A．2 B.
C．－2 D．－
解析 由a×1＋1×(－2)＝0，得a＝2.
答案 A
3．平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是( )
A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝－2x＋3 D．y＝2x－3
解析 在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1)，B关于点(1,1)对称的点为N(1，－1)．由两点式求出对称直线MN的方程＝，即y＝2x－3，故选D.
答案 D
4．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )
A．－2 B．－7
C．3 D．1
解析 由已知kAB＝2，即＝2，解得m＝3.
答案 C
5．已知平面内两点A(1,2)，B(3,1)到直线l的距离分别是，－，则满足条件的直线l的条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条，又由于|AB|＝，所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线，故共3条．
答案 C
6．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析 设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2.由于△ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝.由点到直线的距离公式得＝，即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或者t2＋t－2＝－2.由于这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个．
答案 A
二、填空题
7．直线(2λ＋1)x＋(λ－1)y＋1＝0(λ∈R)，恒过定点________．
解析 整理为x－y＋1＋λ(2x＋y)＝0，
令得
∴恒过定点.
答案
8．若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝________.
解析 直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同始终线，故得所以a＋b＝2.
答案 2
9．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x－y＝0与x＋3y＝0的距离之和等于4，则P到原点距离的最小值为________．
解析 本题考虑到两直线3x－y＝0与x＋3y＝0相互垂直，且交点就是坐标原点，因此我们把这两条直线同时绕原点旋转到与坐标轴重合，在旋转过程中，动点P到原点距离的最小值不变，由于动点P到两坐标轴的距离之和为4，故点P的轨迹在第一象限内为线段x＋y＝4(x≥0，y≥0)，P到原点距离最小值为2，在其他三个象限也一样取最小值2.这就是所求的最小值．(也可直接考虑，P点的轨迹是一个边长为4的正方形，原点是正方形的中心)
答案 2
三、解答题
10．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程．
(1)l′与l平行且过点(－1,3)；
(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4.
解 (1)直线l：3x＋4y－12＝0，kl＝－，
又∵l′∥l，∴kl′＝kl＝－.
∴直线l′：y＝－(x＋1)＋3，即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′⊥l，∴kl′＝.
设l′在x轴上的截距为b，则l′在y轴上的截距为－b，
由题意可知，S＝|b|·＝4，∴b＝±.
∴直线l′：y＝(x＋)或y＝(x－)．
即所求直线l′的方程为：4x－3y＋4＝0或4x－3y－4＝0.
11．若自点P(－3,3)发出的光线l经x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求直线l的方程．
解 如图所示，设圆C关于x轴对称的圆为圆C′，则圆C′的圆心坐标为(2，－2)，半径为1.设入射光线所在的直线方程为y－3＝k(x＋3)，则该直线与圆C′相切，则＝1，解得k＝－，或k＝－，可得直线l的方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
1．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )
A．(0,4) B．(0,2)
C．(－2,4) D．(4，－2)
解析 由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，
又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，∴直线l2恒过定点(0,2)．
答案 B
2．在平面直角坐标系中，定义d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|为两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的“折线距离”，在此定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个正方形；
②到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个圆；
③到M(－1,0)，N(1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x＝0.
其中，正确的命题有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
解析 设到原点的“折线距离”为1的点为(x，y)，则|x|＋|y|＝1，其轨迹为正方形，∴①正确，②错误；
设到M(－1,0)，N(1,0)两点的“折线距离”相等的点为(x，y)，则|x＋1|＋|y|＝|x－1|＋|y|，|x＋1|＝|x－1|，从而x＝0，∴③正确．故选B.
答案 B
3．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
解析 kAC＝＝2，
∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.①
又kBD＝＝－1，
∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，
即x＋y－6＝0.②
由①②得
∴
答案 (2,4)
4．已知点P(2，－1)．
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)过P点的直线l与原点距离为2，且P点坐标为(2，－1)，可见，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件．
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2；
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知，得＝2，解得k＝.
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2.
由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，
即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝.
(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．
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