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课时提升作业(十七)
指数函数的图像与性质
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2022·济源高一检测)函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)对于任意的实数x,y都有
( )
A.f(xy)=f(x)f(y)
B.f(xy)=f(x)+f(y)
C.f(x+y)=f(x)f(y)
D.f(x+y)=f(x)+f(y)
【解析】选C.由同底数指数幂的运算性质可知答案.
2.下列函数中值域为正实数集的是( )
A.y=-5x B.y=131-x
C.y=12x-1 D.y=1-2x
【解析】选B.由于1-x∈R,y=13x的值域是正实数集,所以y=131-x的值域是正实数集.
3.(2022·宝鸡高一检测)若函数f(x)=12x+1,则该函数在(-∞,+∞)上是( )
A.削减的,无最小值 B.削减的,有最小值
C.增加的,无最大值 D.增加的,有最大值
【解题指南】令u=2x+1,利用复合函数的单调性可知.
【解析】选A.令u=2x+1,由于u=2x+1在R上是增函数,而y=1u在(0,+∞)上是减函数,
所以f(x)=12x+1在(-∞,+∞)上是减函数,且无最大值和最小值.
4.(2022·太原高一检测)若指数函数y=ax在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a等于( )
A.1+52 B.-1+52
C.1±52 D.5±12
【解析】选D.当a>1时,由题意知a-a-1=1即a2-a-1=0,所以a=1+52.
当0<a<1时,则a-1-a=1即a2+a-1=0,a=-1+52.
5.已知f(x)=a-x(a>0,且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是( )
A.a>0 B.a>1
C.a<1 D.0<a<1
【解析】选D.由f(x)=a-x(a>0,且a≠1),f(-2)>f(-3)得a2>a3,故0<a<1,所以应选D.
6.(2022·西安高一检测)三个数a=(-0.3)0,b=0.32,c=20.3的大小关系为( )
A.a<b<c B.a<c<b
C.b<a<c D.b<c<a
【解析】选C.由于a=(-0.3)0=1,而c=20.3>20=1,b=0.32<0.30=1,所以c>a>b.
【一题多解】选C.由于a=(-0.3)0=1,如图y1=2x,y2=0.3x.
对于y1=2x取x=0.3,知20.3>1
对于y2=0.3x取x=2知0.32<1.
所以c>a>b.
【变式训练】(2022·驻马店高一检测)设a=3727,b=2737,c=2727,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.b>c>a
【解析】选A.由于y=27x是减函数,37>27,所以c>b,
又y=x27在[0,+∞)上是增加的,37>27,所以a>c,故a>c>b.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2022·渭南高一检测)已知f(x)是指数函数,且f(3)=64,则f(x)的解析式为 .
【解析】设f(x)=ax(a>0且a≠1),
所以a3=64,所以a=6413=4,
所以f(x)=4x.
答案：f(x)=4x
8.已知正数a满足a2-2a-3=0,函数f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m,n的大小关系为 .
【解析】由于a2-2a-3=0,所以a=3或a=-1(舍).
所以函数f(x)=ax在R上是增加的,由f(m)>f(n)得m>n.
答案：m>n
9.函数y=3-|x|的值域为 .
【解析】令u=-|x|,所以u≤0,
所以y=3-|x|≤30=1,所以y∈(0,1].
答案：(0,1]
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.若函数f(x)=ax-1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a的取值.
【解析】当a>1时y=ax-1在[0,2]上是增加的,
所以a2-1=2,a0-1=0,即a=3,
当0<a<1时,y=ax-1在[0,2]上是削减的,
所以a0-1=2,a2-1=0,(舍去)
故a=3.
【误区警示】易忽视分类争辩而造成解题失分.
11.已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的值域.
【解析】f(x)=3+2·3x+1-9x=-(3x)2+6·3x+3.
令3x=t,则y=-t2+6t+3=-(t-3)2+12.
由于-1≤x≤2,所以13≤t≤9.
所以当t=3,即x=1时,y取得最大值12;
当t=9,即x=2时,y取得最小值-24,
即f(x)的最大值为12,最小值为-24.
所以函数f(x)的值域为[-24,12].
【变式训练】求函数g(x)=-14x+412x+5的值域.
【解析】g(x)=-14x+412x+5
=-122x+412x+5,
令t=12x(t>0),
所以g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,
由于t>0,所以g(t)=-(t-2)2+9≤9,
当t=2时,此时12x=2,即x=-1时函数取得最大值9.
所以g(x)的值域是(-∞,9].
【拓展延长】求形如y=k1[f(x)]2+k2f(x)+k3(其中f(x)=ax,a>0且a≠1)的函数值域的步骤.
(1)利用换元法,令t=f(x).
(2)求t的取值范围.
(3)求解关于t的二次函数的值域.确定要留意t的取值范围.
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2022·西安高一检测)函数y=(2a-1)x为减函数,则a的取值范围是( )
A.0,12 B.14,12
C.12,1 D.0,14
【解析】选C.由题意知0<2a-1<1,所以12<a<1.
2.(2022·咸阳高一检测)已知f(x)是偶函数,且x>0时,f(x)=10x,则x<0时,f(x)等于( )
A.10x B.10-x C.-10x D.-10-x
【解析】选B.设x<0,则-x>0,
由于f(-x)=10-x,f(-x)=f(x),所以f(x)=10-x.
【举一反三】若把“f(x)是偶函数”改为“f(x)是奇函数”则结果又如何?
【解析】选D.设x<0,则-x>0,由于f(-x)=10-x,f(-x)=-f(x),所以f(x)=-10-x.
3.(2022·宝鸡高一检测)若集合M={y|y=2-x},P={y|y=x-1},则M∩P等于
( )
A.{y|y>1} B.{y|y≥1}
C.{y|y>0} D.{y|y≥0}
【解析】选C.对于M,y=2-x=12x>0,对于P,y=x-1≥0可知答案.
4.设14<14b<14a<1,那么( )
A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab
C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa
【解题指南】依据函数y=14x的单调性得到a,b的范围,再对比选项推断.
【解析】选C.由已知及函数y=14x是R上的减函数,得0<a<b<1.
由y=ax(0<a<1)的单调性及a<b,得ab<aa.
由0<a<b<1知0<ab<1.
由于aba<ab0=1.所以aa<ba.故选C.
【变式训练】设y1=40.9,y2=80.44,y3=12-1.5,则( )
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3
C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
【解析】选D.利用幂的运算性质可得y1=21.8,y2=21.32,y3=21.5,再由y=2x是增函数可知选D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.函数f(x)=a-2x的图像经过原点,则不等式f(x)>34的解集为 .
【解析】由于f(x)=a-2x的图像经过原点,
所以f(0)=a-20=0,所以a=1,
所以f(x)=1-2x.
由f(x)>34得1-2x>34,所以2x<14=2-2.
所以x<-2.
所以不等式f(x)>34的解集为{x|x<-2}.
答案：{x|x<-2}
6.(2022·大同高一检测)函数f(x)=2-x-1,x≤0,x2,x>0,若f(a)>1,则a的取值范围是 .
【解析】当a≤0时,2-a-1>1,2-a>2,
所以-a>1,所以a<-1.
当a>0时,a2>1,所以a>1.
答案：(-∞,-1)∪(1,+∞)
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.争辩函数f(x)=15x2-2x的单调性,并求其值域.
【解析】由于函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),
令t=x2-2x,则f(t)=15t,
又由于t=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上是削减的,
而f(t)=15t在其定义域内是削减的.
所以函数f(x)在(-∞,1]上为增加的,
又由于函数f(t)=15t在其定义域内为削减的,
t=x2-2x=(x-1)2-1在x∈[1,+∞)上是增加的,
所以函数f(x)在[1,+∞)上是削减的.
由于x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
又0<15<1,
所以0<15x2-2x≤15-1=5,
所以函数f(x)的值域是(0,5].
【误区警示】在判定复合型的指数函数的单调性时,确定要留意a>1还是0<a<1.
8.(2022·菏泽高一检测)已知函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系如何?
【解析】由于f(1+x)=f(1-x),所以函数f(x)的对称轴是x=1,
故b=2,
即函数f(x)在-∞,1上是削减的,在1,+∞上是增加的.
又f(0)=3,所以c=3.
若x≥0,则3x≥2x≥1,所以f(3x)≥f(2x);
若x<0,则3x<2x<1,所以f(3x)>f(2x).
综上可得f(3x)≥f(2x),即f(cx)≥f(bx).
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