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2021年10月
绵阳南山中学2021年秋季2022届
一诊模拟考试数学(文科)试题
命题人:文媛 审题人:王怀修 张家寿
1.本试卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷(主观题)两部分,全卷共150分,考试时间120分钟.
2.全部试题均答在答题卡上,答在题卷上无效．
第Ⅰ卷(客观题,共50分)
一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.全集U=R,集合,则 ( )
A. B.
C. D..
2.已知向量满足, ,则 ( )
A. B. C. D.
3.下列四种说法:
①的子集有3个；②“若，则”的逆命题为真；③“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；④命题“” 的否定是：“”.其中错误命题的个数有 （ ）
A.0个 B.1个 C. 2个 D. 3个
4.函数 与 图象的交点坐标为 ，则所在区间为 ( )
A. B. C. D.
5.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝4x＋2y的最大值为 ( )
A．12 B．10 C．8 D．2
6.已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)，若f(4)·g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是 ( )
A. B. C. D.
7.函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位后是奇函数，则函数f(x)在上的最小值为
A. B． C． D．
8.下列三个数：，大小挨次正确的是 ( )
A. B. C. D.
9.在边长为1的正三角形AOB中，P为边AB上一个动点，则 的最小值是 ( )
A. B. C. D.
10.设函数是定义在R上的奇函数，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则的最小值是 ( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(主观题,共100分)
二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11. tan=________.
12.已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差d＝－2，则{an}的前n项和Sn的最大值为________.
13.若直线过曲线的对称中心，则的最小值为________.
14.已知函数在处取得极值0，则＝______.
15.已知函数(其中为自然对数的底数)，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为______________.
三.解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.)
16.(本小题满分12分) 已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若求的值.
17.(本小题满分12分) 已知等比数列{an}()满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小值．
18.(本小题满分12分)设函数在区间上有最小值1和最大值4，设函数.
(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ)若不等式在区间上有解，求实数的取值范围.
19.(本小题满分12分)已知A,B分别在射线CM,CN（不含端点C）上运动，.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为.
(Ⅰ)若成等差数列，且公差为2，求的值；
(Ⅱ)当c＝，,试用表示三角形的周长，并求周长的最大值.
20.(本小题满分13分)已知函数的图象过点且在点处的切线与直线垂直(为自然对数的底数，且).
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ)若存在 ，使得不等式成立，求实数的取值范围.
21.(本小题满分14分)已知函数
(Ⅰ)争辩函数的单调性;
(Ⅱ) 记函数，设为函数图象上的两点，且.
① 当时，若在A，B处的切线相互垂直，求证：；
② 若在点A，B处的切线重合，求实数的取值范围.
2021年10月
绵阳南山中学2021年秋季2022届
一诊模拟考试数学(文科)试题答案
一. 选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D
B
B
B
A
A
C
A
二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11. 12.36 13. 14. -7 15.
三.解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.)
16.(Ⅰ)
（或或） ……………………………… ………3
故最小正周期为，值域为 ..……………………………………………………………6
(Ⅱ)由,得.
又由于则. .……………9
…………12
17.(Ⅰ) 设等比数列{an}的公比为q，依题意，有
即
由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.
当q＝1时，不合题意，舍去；当q＝2时，代入②得a1＝2，所以an＝2·2n－1＝2n.
故所求数列{an}的通项公式an＝2n(n∈N*)． .………………………………………6
(Ⅱ)bn＝an＋log2＝2n＋log2＝2n－n.
所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n
＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)
＝－＝2n＋1－2－n－n2. ………………………………9
由于Sn－2n＋1＋47<0，所以2n＋1－2－n－n2－2n＋1＋47<0，
即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10.
由于n∈N*，故使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10. .…………………12
18.(Ⅰ) 在区间上是增函数，
解得：
函数的解析式为. ………………………………………………6
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
可化为 ………………………………………………9
令，则，
记，，
故所求实数的取值范围是：. …………………………12
19.(Ⅰ) 成等差数列，且公差为2，.
又，.在三角形ABC中，有,
即，化简得：，
解得：或.又 ……………………………………6
(Ⅱ)在三角形ABC中，
，即 . ……………………8
三角形ABC的周长
…………………10
又，当，即时，有最大值. ……12
20.(Ⅰ).
又点处的切线与直线垂直，. ……………………………2
又的图象过点，即 ………4
…………………………………………………………………6
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，由题意，即，
则. …………………………………………………………………8
若存在 ，使得不等式成立，
只需小于或等于的最大值.设
则，当时，；当时，.
故在上单调递减，在上单调递增.
……………………10
，
故当时，的最大值为
故即实数的取值范围是：. ………………………13
21. (Ⅰ) ,.
①当，即时， ，在R上单调递减.
②当，即时，
当时，；
当时，.
综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减. ………………………6
(Ⅱ)证明：①
由题意可知，即
当时，当时，当时，
，
，
.
,当且仅当
即时，等号成立. ………………………10
②当且单调递减.
当且单调递增.
由题意可得，
令，
切线重合，则A，B均在切线上.
化简得
令，
易知为单调递减， ，
单调递增，即 ………………………14
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