2022届高三数学一轮总复习基础练习：第八章-平面解析几何8-9理、-8文-1-.docx

第九节　圆锥曲线的热点问题(理)
第八节　圆锥曲线的热点问题(文)
第一课时　直线与圆锥曲线的位置关系
时间：45分钟　分值：100分

一、选择题
1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为(　　)
A．1 B．1或3
C．0 D．1或0
解析　由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，则y＝2，若k≠0，若Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，因此直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或1.
答案　D
2．椭圆＋＝1的离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是(　　)
A．3x＋2y－4＝0 B．4x＋6y－7＝0
C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0
解析　依题意得e＝，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点的连线的斜率为＝，所求直线的斜率为－，所以所求直线方程是y－＝－(x－1)．即4x＋6y－7＝0.
答案　B
3．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于(　　)
A．－3 B．－
C．－或－3 D．±
解析　依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.
答案　B
4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若＝λ(λ>1)，则λ的值为(　　)
A．5 B．4
C. D.
解析　依据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝λ得＝λ，故－y1＝λy2，即λ＝.设直线AB的方程为y＝，联立直线与抛物线方程，消元得y2－py－p2＝0.故y1＋y2＝p，y1·y2＝－p2，＝＋＋2＝－，即－λ－＋2＝－.又λ>1，故λ＝4.
答案　B
5．(2021·济南模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是(　　)
A．(1,2) B．(1,2]
C．(1，) D．(1，]
解析　由于双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1点在x轴下方，由y2＝8x得y＝－2，则y′＝－.令－＝tan 135°，解得x＝2.代入y＝－2，得y＝－4，所以切点为(2，－4)．故切线方程为y－(－4)＝－(x－2)，即x＋y＋2＝0.故A(－2,0)，B(0，－2)．由于过A，B两点的最小圆即为以AB为直径的圆，即(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，圆心到准线的距离为d＝1，所以过A，B两点的最小圆截抛物线y2＝8x的准线所得的弦长为l＝2＝2.
答案　C
二、填空题
7．(2022·东北三省联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为________．
解析　由题意得解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案　＋＝1
8．直线l：x＋＝1与椭圆x2＋＝1交于A，B两点，O为原点，则△OAB的面积为________．
解析　l过椭圆的顶点(1,0)和(0,2)，S△OAB＝×2×1＝1.
答案　1
9．已知曲线－＝1与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且·＝0(O为原点)，则－的值为________．
解析　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由题意得
则(b－a)x2＋2ax－a－ab＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(1－x1)(1－x2)＝1－(x1＋x2)＋x1x2，
依据·＝0，得x1x2＋y1y2＝0，
得1－(x1＋x2)＋2x1x2＝0，
因此1＋＋2×＝0，化简得＝2，即－＝2.
答案　2
三、解答题
10．已知直线l：y＝x＋，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线斜率之积为定值．
解　(1)设椭圆半焦距为c，
圆心O到l的距离d＝＝，
所以b＝＝.
由题意得又b＝，∴a2＝3，b2＝2.
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)证明：设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，
联立直线l0与椭圆E的方程得
把y＝kx＋(y0－kx0)代入＋＝1，消去y得
(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，∵l0与椭圆E相切．
∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，整理得(2－x)k2＋2kx0y0－(y－3)＝0，
设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－.
∵点P在圆O上，∴x＋y＝5，
∴k1·k2＝－＝－1.
∴两条切线斜率之积为常数－1.

11．如图，椭圆长轴的端点为A，B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且·＝1，||＝1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解　(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1，
又∵·＝(a＋c)·(a－c)＝a2－c2＝1.
∴a2＝2，b2＝1.
故椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∵M(0,1)，F(1,0)，∴直线l的斜率k＝1.
于是设直线l为y＝x＋m，由
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
x1＋x2＝－m，①
x1x2＝.②
∵·＝x1(x2－1)＋y2(y1－1)＝0.
又yi＝xi＋m(i＝1,2)，
∴x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0，
即2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2－m＝0.
将①②代入得2·－(m－1)＋m2－m＝0，
解得m＝－或m＝1，经检验m＝－符合条件．
故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，直线l的方程为y＝x－.

1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l：y＝kx＋与椭圆C交于A，B两点，是否存在k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)设椭圆的焦半距为c，则由题设得解得
故所求C的方程为＋x2＝1.
(2)存在k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.理由如下：
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线l的方程y＝kx＋代入＋x2＝1并整理得(k2＋4)x2＋2kx－1＝0.(*)
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
由于以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，
所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝0.
又y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋3，
即y1y2＝－－＋3＝，
于是有－＋＝0，解得k＝±.
经检验知：此时(*)的判别式Δ>0，适合题意．
即(*)的判别式Δ>0恒成立．
所以当k＝±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.
2．已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：x2＝4y有一个相同的焦点F1，直线l：y＝2x＋m与抛物线C2只有一个公共点．
(1)求直线l的方程；
(2)若椭圆C1经过直线l上的点P，当椭圆C1的离心率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点P的坐标．
解　(1)由消去y，得x2－8x－4m＝0，
∵直线l与抛物线C2只有一个公共点，
∴Δ＝82＋4×4m＝0，解得m＝－4.
∴直线l的方程为y＝2x－4.
(2)∵抛物线C2的焦点为F1(0,1)，依题意知椭圆C1的两个焦点的坐标为F1(0,1)，F2(0，－1)
设椭圆C1的方程为＋＝1(a>1)，
由消去y，得(5a2－4)x2－16(a2－1)x＋(a2－1)(16－a2)＝0.(*)
由Δ＝162(a2－1)2－4(5a2－4)(a2－1)(16－a2)≥0，得a4－4a2≥0(a2>0且a2－1>0)，解得a2≥4.∵a>1，∴a≥2，∴e＝≤.
当a＝2时，emax＝，此时椭圆C1的方程为＋＝1.
把a＝2代入方程(*)，解得x＝.
又y＝2x－4，∴y＝－1，
∴点P的坐标为.