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第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
解析 ∵圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，
∴圆心为(1，－2)，半径r＝3.
又圆心在直线2tx－y－2－2t＝0上，
∴圆与直线相交．
答案 C
2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
解析 圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径r2＝2，故两圆的圆心距|O1O2|＝，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1<|O1O2|<r1＋r2，故两圆相交．
答案 B
3．(2022·浙江卷)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
解析 圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，因此圆心为(－1,1)，半径r＝.
圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，又弦长为4，因此由勾股定理可得()2＋2＝()2，解得a＝－4.故选B.
答案 B
4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
解析 C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x－y－1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.
答案 B
5．若直线x－y＋2＝0与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A，B两点，则·的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．6
解析 由题意可知，圆心C(3,3)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝＝.又由于sin∠BAC＝＝，所以∠BAC＝45°，又由于CA＝CB，所以∠BCA＝90°.故·＝0.
答案 B
6．(2022·河南南阳三联)动圆C经过点F(1,0)，并且与直线x＝－1相切，若动圆C与直线y＝x＋2＋1总有公共点，则圆C的面积( )
A．有最大值8π B．有最小值2π
C．有最小值3π D．有最小值4π
解析 设圆心为C(a，b)，半径为r，r＝|CF|＝|a＋1|，即(a－1)2＋b2＝(a＋1)2，即a＝b2，∴圆心为，r＝b2＋1，圆心到直线y＝x＋2＋1的距离为d＝≤＋1，∴b≤－2(2＋3)或b≥2，当b＝2时，rmin＝×4＋1＝2，∴Smin＝πr2＝4π.
答案 D
二、填空题
7．以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0公共弦为直径的圆的方程为______________．
解析 将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.由解得两交点坐标A(－1,2)，B(5，－6)．∵所求圆以AB为直径，∴所求圆的圆心是AB的中点M(2，－2)，圆的半径为r＝|AB|＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
答案 (x－2)2＋(y＋2)2＝25
8．(2022·湖北卷)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.
解析 由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即＝，＝cos45°＝，所以a2＝b2＝1，故a2＋b2＝2.
答案 2
9．设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．
解析 ∵l与圆相交所得弦的长为2，
∴＝.
∴m2＋n2＝≥2|mn|，∴|mn|≤.
l与x轴交点A，与y轴交点B，
∴S△AOB＝·＝·≥×6＝3.
答案 3
三、解答题
10．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
解 将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方，得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切，则有＝2.解得a＝－.
(2)过圆心C作CD⊥AB，则依据题意和圆的性质，
得
解得a＝－7或a＝－1.
故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
11．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
解 (1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝2，
化简可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．
则直线l2是此圆的切线，连接CQ，
则|QM|＝＝，
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝＝4，
此时|QM|的最小值为＝4.
1．直线y＝x＋m与圆x2＋y2＝16交于不同的两点M，N，且||≥|＋|，其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是( )
A．(－2，－]∪[，2)
B．(－4，－2]∪[2，4)
C．[－2,2]
D．[－2，2]
解析 设MN的中点为D，则＋＝2，||≥2||，由||2＋||2＝16，得16＝||2＋||2≥||2＋(2||)2，从而得||≤2，由点到直线的距离公式可得||＝≤2，解得－2≤m≤2.
答案 D
2．过点P(1，)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|＝( )
A. B．2
C. D．4
解析 如图所示，∵PA，PB分别为圆O：x2＋y2＝1的切线，
∴OA⊥AP.
∵P(1，)，O(0,0)，
∴|OP|＝＝2.
又∵|OA|＝1，在Rt△APO中，cos∠AOP＝，
∴∠AOP＝60°，∴|AB|＝2|AO|sin∠AOP＝.故选A.
答案 A
3．设M＝{(x，y)|y＝，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，则M∩N≠∅时，a的最大值与最小值分别为________、________.
解析 由于集合M＝{(x，y)|y＝，a>0}，
所以集合M表示以O(0,0)为圆心，半径为r1＝a的上半圆．
同理，集合N表示以O′(1，)为圆心，半径为r2＝a的圆上的点．
这两个圆的半径随着a的变化而变化，但|OO′|＝2.如图所示，
当两圆外切时，由a＋a＝2，得a＝2－2；
当两圆内切时，由a－a＝2，得a＝2＋2.
所以a的最大值为2＋2，最小值为2－2.
答案 2＋2 2－2
4．过点Q(－2，)作圆O：x2＋y2＝r2(r>0)的切线，切点为D，且|QD|＝4.
(1)求r的值；
(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆O的切线l，且l交x轴于点A，交y轴于点B，设＝＋，求||的最小值(O为坐标原点)．
解 (1)圆O：x2＋y2＝r2(r>0)的圆心为O(0,0)，
于是|QO|2＝(－2)2＋()2＝25.
由题设知，△QDO是以D为直角顶点的直角三角形，故有r＝|OD|＝＝＝3.
(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，
即bx＋ay－ab＝0，则A(a,0)，B(0，b)，∴＝(a，b)，
∴||＝.∵直线l与圆O相切，
∴＝3⇒a2b2＝9(a2＋b2)≤2.
∴a2＋b2≥36，∴||≥6.
当且仅当a＝b＝3时取到“＝”．
∴||取得最小值为6.
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