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二零一五届高三定时训练
数学理科试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知全集为R，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2、设向量，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3、命题；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
4、始终，则（ ）
A． B． C． D．
5、函数的大致图象是（ ）
6、已知是函数的零点，若，则的值满足（ ）
A． B． C． D．正负不定
7、等差数列的前n项和为，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8、由曲线，直线所围成的平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9、已知为R上的可导函数，且对任意的，均有，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
10、已知表示大于的最小整数，例如，定义，则下列命题中正确的是（ ）
①；
②函数的值域是；
③为R上的奇函数，且为周期函数；
④若，则方程有2022个根。
A．②④ B．③④ C．①④ D．②③
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.
11、已知函数，则
12、曲线在点处的切线方程为
13、若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是
14、已知是常数且为的前n项和，，若数列是等比数列，则
15、已知定义域为的函数图象上两点是函数图象上的点，其中，又点满足，若对任意恒成立，则称函数在上“阶线性近似”，若函数在上“阶线性近似”，则实数的取值范围为
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16、（本小题满分12分）
已知在中，角的对边分别为，且。
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积。
17、（本小题满分12分）
已知关于的不等式对任意的恒成立；
，不等式成立，若为真，为假，求实数的取值范围。
18、（本小题满分12分）
已知，并且
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若且，求的值。
19、（本小题满分12分）
某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，没生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂当年生产该产品全部销售完。
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中能获得最大利润，最大利润是多少？
20、（本小题满分13分）
已知数列满足，且为的前n项和
（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）假如对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。
21、（本小题满分14分）
已知函数为常数），
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数在区间上无零点，求的最小值；
（3）若对任意给定的，则上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围。
二〇一五届高三定时训练
数学理科试题参考答案及评分标准 2022.11
一、 选择题（每小题5分,共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
C
A
C
B
D
D
A
二、 填空题(每小题5分,共25分)
11． 12． 13．
14． 15．
三、 解答题(共75分)
(留意：答案仅供应一种解法，同学的其他正确解法应依据本评分标准，酌情赋分.)
16．解：（1）在△中,由正弦定理得,………………………2分
即，又角为三角形内角，
所以，即， …………………………………4分
又由于，所以. …………………………………6分
（2）在△中，由余弦定理得：
，则……………………………8分
即，解得或，……………………………10分
又，所以. ………………………………12分
17． 解：由对任意恒成立，
得在上恒成立．
又函数在上是增函数，
所以其最小值为，因此只要即可，所以．…………………3分
由于在上是增函数，在上也是增函数，且，
所以在上是增函数，由可得，
所以或. ……………………………………6分
若为真，为假，所以与一真一假 …………………………………7分
若真假，应有所以； …………………………………9分
若假真，应有所以； …………………………………11分
因此的范围是且. ……………………………………12分
18．解：（1）由已知得
＝， ……………………………………3分
的最小正周期. ……………………………………4分
令,，
可得（）,
则的单调递增区间为（）.…………………………6分
（2）由得， ……………………………………7分
由，可得，
所以， ………………………………9分
＝. ……………………………………12分
19．解：（1）当，时，
,………………………………2分
当，时，
,…………………………………4分
所以 ………………………6分
（2）当，时，
此时，当时，取得最大值,……………………………8分
令， ，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数；
因此，当，时，取得最大值.…………………10分
由于，所以年产量为千件时，最大利润是万元. ……………12分
20． 解: (1) 由已知，对任意，都有，
所以，又，
则是首项为3，公比为的等比数列. ………………………………2分
所以，. ………………………………4分
(2) , ………………6分
由，化简得对任意的恒成立, ……………8分
设，则,……………………10分
当，，为单调递减数列，
当，，为单调递增数列,
又，所以数列的最大项为, ………………………12分
所以，时，对任意恒成立，
即不等式对任意恒成立. …………………………13分
21． 解：（1）当时，其定义域为，
则，
令得；令得，
故的单调递减区间为，单调递增区间为.……………………3分
（2）法一：由于当时，
所以函数在区间上不行能恒成立，
故要使函数在区间上无零点，只要对任意的，恒成立．
即对任意的，恒成立. ……………………………4分
令,，
则, ……………………………5分
再令，则，
由，知，
故函数在区间上单调递减，
所以 ，即，
所以函数在区间上单调递增，则，
故只要，函数在区间上无零点，
所以的最小值为. ……………………………9分
法二： 由，
可得，
令则
1）当时，即时，恒成立，单调递减，
恒成立，又在区间上无零点，
则又
所以 ……………………………6分
2）当时，即时，
则存在，使得 且，
则当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，的最小值为，
令
则恒成立，在上单调递增，
恒成立，即的最小值小于零恒成立，
又当时，
此时函数在区间确定存在零点，不合题意.
由1），2）可知即的最小值为. ………………………9分
（3）由，当，，
则函数在区间上是增函数．所以，
当时，，不符题意；
当时，，当时，，
由题意有在上不单调，故，即①，…………10分
当变化时，变化状况如下：
0
+
单调递减
最小值
单调递增
又由于时，，
，…………………………12分
所以，对于给定的，在上总存在两个不同的，
使得成立，当且仅当满足下列条件
即②，③，
令，，令，则，
故时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减；
所以对任意的，. …………………………13分
由③得④，由①④当时，
在上总存在两个不同的，使得成立.………………14分
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