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二零一五届高三定时训练
数学理科试题
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1、已知全集为R,集合,则( )
A. B. C. D.
2、设向量,则是的( )
A.充分不必要条件 B.充分必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3、命题;命题,则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
4、始终,则( )
A. B. C. D.
5、函数的大致图象是( )
6、已知是函数的零点,若,则的值满足( )
A. B. C. D.正负不定
7、等差数列的前n项和为,且,则的值是( )
A. B. C. D.
8、由曲线,直线所围成的平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
9、已知为R上的可导函数,且对任意的,均有,则有( )
A.
B.
C.
D.
10、已知表示大于的最小整数,例如,定义,则下列命题中正确的是( )
①;
②函数的值域是;
③为R上的奇函数,且为周期函数;
④若,则方程有2022个根。
A.②④ B.③④ C.①④ D.②③
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卷的横线上。.
11、已知函数,则
12、曲线在点处的切线方程为
13、若将函数的图象向右平移个单位,所得图象关于轴对称,则的最小正值是
14、已知是常数且为的前n项和,,若数列是等比数列,则
15、已知定义域为的函数图象上两点是函数图象上的点,其中,又点满足,若对任意恒成立,则称函数在上“阶线性近似”,若函数在上“阶线性近似”,则实数的取值范围为
三、解答题:本大题共6小题,满分75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16、(本小题满分12分)
已知在中,角的对边分别为,且。
(1)求角的大小;
(2)若,求的面积。
17、(本小题满分12分)
已知关于的不等式对任意的恒成立;
,不等式成立,若为真,为假,求实数的取值范围。
18、(本小题满分12分)
已知,并且
(1)求的最小正周期和单调递增区间;
(2)若且,求的值。
19、(本小题满分12分)
某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,没生产千件,需另投入成本为,当年产量不足80千件时,(万元);当年产量不小于80千件时,(万元),通过市场分析,若每件售价为500元时,该厂当年生产该产品全部销售完。
(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一产品的生产中能获得最大利润,最大利润是多少?
20、(本小题满分13分)
已知数列满足,且为的前n项和
(1)求证:数列是等比数列,并求的通项公式;
(2)假如对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围。
21、(本小题满分14分)
已知函数为常数),
(1)当时,求的单调区间;
(2)若函数在区间上无零点,求的最小值;
(3)若对任意给定的,则上总存在两个不同的,使得成立,求的取值范围。
二〇一五届高三定时训练
数学理科试题参考答案及评分标准 2022.11
一、 选择题(每小题5分,共50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
C
A
C
B
D
D
A
二、 填空题(每小题5分,共25分)
11. 12. 13.
14. 15.
三、 解答题(共75分)
(留意:答案仅供应一种解法,同学的其他正确解法应依据本评分标准,酌情赋分.)
16.解:(1)在△中,由正弦定理得,………………………2分
即,又角为三角形内角,
所以,即, …………………………………4分
又由于,所以. …………………………………6分
(2)在△中,由余弦定理得:
,则……………………………8分
即,解得或,……………………………10分
又,所以. ………………………………12分
17. 解:由对任意恒成立,
得在上恒成立.
又函数在上是增函数,
所以其最小值为,因此只要即可,所以.…………………3分
由于在上是增函数,在上也是增函数,且,
所以在上是增函数,由可得,
所以或. ……………………………………6分
若为真,为假,所以与一真一假 …………………………………7分
若真假,应有所以; …………………………………9分
若假真,应有所以; …………………………………11分
因此的范围是且. ……………………………………12分
18.解:(1)由已知得
=, ……………………………………3分
的最小正周期. ……………………………………4分
令,,
可得(),
则的单调递增区间为().…………………………6分
(2)由得, ……………………………………7分
由,可得,
所以, ………………………………9分
=. ……………………………………12分
19.解:(1)当,时,
,………………………………2分
当,时,
,…………………………………4分
所以 ………………………6分
(2)当,时,
此时,当时,取得最大值,……………………………8分
令, ,
当时,,为增函数;
当时,,为减函数;
因此,当,时,取得最大值.…………………10分
由于,所以年产量为千件时,最大利润是万元. ……………12分
20. 解: (1) 由已知,对任意,都有,
所以,又,
则是首项为3,公比为的等比数列. ………………………………2分
所以,. ………………………………4分
(2) , ………………6分
由,化简得对任意的恒成立, ……………8分
设,则,……………………10分
当,,为单调递减数列,
当,,为单调递增数列,
又,所以数列的最大项为, ………………………12分
所以,时,对任意恒成立,
即不等式对任意恒成立. …………………………13分
21. 解:(1)当时,其定义域为,
则,
令得;令得,
故的单调递减区间为,单调递增区间为.……………………3分
(2)法一:由于当时,
所以函数在区间上不行能恒成立,
故要使函数在区间上无零点,只要对任意的,恒成立.
即对任意的,恒成立. ……………………………4分
令,,
则, ……………………………5分
再令,则,
由,知,
故函数在区间上单调递减,
所以 ,即,
所以函数在区间上单调递增,则,
故只要,函数在区间上无零点,
所以的最小值为. ……………………………9分
法二: 由,
可得,
令则
1)当时,即时,恒成立,单调递减,
恒成立,又在区间上无零点,
则又
所以 ……………………………6分
2)当时,即时,
则存在,使得 且,
则当时,单调递减,
当时,单调递增,
所以,的最小值为,
令
则恒成立,在上单调递增,
恒成立,即的最小值小于零恒成立,
又当时,
此时函数在区间确定存在零点,不合题意.
由1),2)可知即的最小值为. ………………………9分
(3)由,当,,
则函数在区间上是增函数.所以,
当时,,不符题意;
当时,,当时,,
由题意有在上不单调,故,即①,…………10分
当变化时,变化状况如下:
0
+
单调递减
最小值
单调递增
又由于时,,
,…………………………12分
所以,对于给定的,在上总存在两个不同的,
使得成立,当且仅当满足下列条件
即②,③,
令,,令,则,
故时,,函数单调递增;
时,,函数单调递减;
所以对任意的,. …………………………13分
由③得④,由①④当时,
在上总存在两个不同的,使得成立.………………14分
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