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第七节 抛物线
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A. B.
C．1 D.
解析 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，
双曲线x2－＝1的渐近线是y＝±x，即x±y＝0.
∴所求距离为＝.选B.
答案 B
2．(2022·辽宁卷)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1
C．－ D．－
解析 由已知，得准线方程为x＝－2，
∴F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)，
∴直线AF的斜率为k＝＝－.故选C.
答案 C
3．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p的值为( )
A．1 B．2
C. D．4
解析 圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为3－＝4，解得p＝2.
答案 B
4．(2022·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析 由抛物线方程y2＝x知，2p＝1，＝，即其准线方程为x＝－.由于点A在抛物线上，由抛物线的定义知|AF|＝x0＋＝x0＋，于是x0＝x0＋，解得x0＝1.
答案 A
5．(2022·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝( )
A. B．3
C. D．2
解析 如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p＝|FM|＝4.
过Q作QH⊥l于H，
则|QH|＝|QF|.
由题意，得△PHQ∽△PMF，
则有＝＝，
∴|HQ|＝3.∴|QF|＝3.
答案 B
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值肯定等于( )
A．－4 B．4
C．p2 D．－p2
解析 ①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝，则x1x2＝；
②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：y＝k，
联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，
则x1x2＝.则y1y2＝－p2.故＝－4.
答案 A
二、填空题
7．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．
解析 由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.
答案 x2＝12y
8．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x0＝________.
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.依据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.
答案 3
9．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析 如图，在等边三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，∴B点坐标为.又点B在双曲线上，故－＝1.解得p＝6.
答案 6
三、解答题
10．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．
解 由题意，抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．
设公共弦MN交y轴于A，则MA＝AN，而AN＝.
∵ON＝3，∴OA＝ ＝2，
∴N(，±2)．
∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，
故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y.
抛物线x2＝±y的焦点坐标为，
准线方程为y＝∓.
11．已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长AB＝3，
(1)求m的值；
(2)设P是x轴上的一点，且△ABP的面积为9，求P的坐标．
解 (1)由⇒4x2＋4(m－1)x＋m2＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝1－m，x1·x2＝，
|AB|＝
＝＝.
由|AB|＝3，即＝3⇒m＝－4.
(2)设P(a,0)，P到直线AB的距离为d，
则d＝＝，
又S△ABP＝|AB|·d，
则d＝，
＝⇒|a－2|＝3⇒a＝5或a＝－1，
故点P的坐标为(5,0)或(－1,0)．
1．已知抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝( )
A. B.
C. D.
解析 由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为，双曲线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y＝－(x－2)．设M(x0，y0)，则有y′＝x0＝⇒x0＝p.由于y0＝x，所以y0＝.又M点在抛物线的切线上，
即有＝－⇒p＝，故选D.
答案 D
2．如图，抛物线C1：y2＝2px和圆C2：(x－)2＋y2＝，其中p>0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则·的值为( )
A．p2 B.
C. D.
解析 设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|＝|AF|－|BF|＝x1＋－＝x1，
同理|CD|＝x2.
又·＝|AB||CD|＝x1·x2＝.
答案 B
3．已知过点P(4,0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4，代入y2＝4x，得交点为(4,4)，(4，－4)，
∴y＋y＝16＋16＝32；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－4)，
与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－16k＝0，
由题意，知k≠0，则y1＋y2＝，y1y2＝－16.
∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32>32.
综上知，(y＋y)min＝32.
答案 32
4．(2022·陕西卷)如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．
解 (1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左右顶点．
设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2.∴a＝2，b＝1.
(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)
设点P的坐标为(xP，yP)，
∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根，
由求根公式，得xP＝，从而yP＝，
∴点P的坐标为.
同理，由
得Q点的坐标为(－k－1，－k2－2k)．
∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)．
∵AP⊥AQ，∴·＝0，
即[k－4(k＋2)]＝0，
∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.
经检验，k＝－符合题意，
故直线l的方程为y＝－(x－1)，
即8x＋3y－8＝0.
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