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第八节 曲线与方程(理)
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( )
A．一条直线和一条双曲线 B．两条直线
C．两个点 D．4条直线
解析 由(x－y)2＋(xy－1)2＝0得
∴或
即方程表示两个点(1,1)和(－1，－1)．
答案 C
2．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足·＝0，则P点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析 ∵·＝0，∴PM⊥PN.∴点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．
答案 A
3．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
解析 设P(x，y)，圆心为M(1,0)，
连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又∵|PA|＝1，∴|PM|＝＝.
即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.
答案 D
4．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋y2＝1(y≠0)
C.＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋＝1(y≠0)
解析 设P(x0，y0)、G(x，y)，由三角形重心坐标公式可得即代入＋＝1，得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)．
答案 C
5．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1(x>3)
D.－＝1(x>4)
解析 如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
依据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
答案 C
6．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
解析 设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)，∵＝λ1＋λ2，∴
又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．
答案 A
二、填空题
7．已知点M与双曲线－＝1的左、右焦点的距离之比为23，则点M的轨迹方程为____________________．
解析 可得双曲线的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，设点M(x，y)，则有＝，代入整理得x2＋y2＋26x＋25＝0.
答案 x2＋y2＋26x＋25＝0
8．若动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．
解析 设P(x1，y1)，PQ中点为M(x，y)，
∵Q(0，－1)，∴ ∴
∵P(x1，y1)在曲线y＝2x2＋1上，∴y1＝2x＋1.
∴2y＋1＝2(2x)2＋1，化简得y＝4x2.
∴PQ中点的轨迹方程为y＝4x2.
答案 y＝4x2
9．已知两定点A(－1,0)，B(2,0)，动点P满足＝，则P点的轨迹方程是__________．
解析 设P(x，y)，则依据两点间距离公式，得
|PA|＝，|PB|＝，
又∵＝，∴＝.
整理，得(x＋2)2＋y2＝4即为所求．
答案 (x＋2)2＋y2＝4
三、解答题
10.
如图，动点M与两定点A(－1,0)，B(1,0)构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C，试求轨迹C的方程．
解 设M的坐标为(x，y)，当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；
当x＝1时，直线MB的斜率不存在．
于是x≠1且x≠－1，此时，MA的斜率为，MB的斜率为.
由题意，有·＝4，化简可得4x2－y2－4＝0.
故动点M的轨迹C的方程是4x2－y2－4＝0(x≠1且x≠－1)．
11．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变．
(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
(2)直线l：y＝x＋t与曲线E交于M，N两点，求四边形MANB的面积的最大值．
解 (1)以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系，∵|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|
＝＋ ＝2>|AB|，
∴动点P的轨迹为椭圆，且a＝，c＝1，从而b＝1.
∴曲线E的方程为＋y2＝1.
(2)将y＝x＋t代入＋y2＝1，得3x2＋4tx＋2t2－2＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴
由①得t2<3，
∴S四边形MANB＝|AB||y1－y2|＝|y1－y2|＝|x1－x2|
＝≤.
所以四边形MANB的面积最大值是.
1．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示一条( )
A．过点P且平行于l的直线
B．过点P且垂直于l的直线
C．不过点P但平行于l的直线
D．不过点P但垂直于l的直线
解析 由题意知f(x0，y0)≠0，又f(x0，y0)－f(x0，y0)＝0，∴直线f(x，y)＝0与直线f(x，y)－f(x0，y0)＝0平行，且点P在直线f(x，y)－f(x0，y0)＝0上．
答案 A
2．如图所示，A是圆O内肯定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于E，则点E的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析 由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B.
答案 B
3．在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a>0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是________．
解析 由正弦定理：－＝×，
即|AB|－|AC|＝|BC|，故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支．
答案 －＝1(x>0且y≠0)
4．(2022·浙江“六市六校”联盟模拟)已知动圆过定点A(0,2)，且在x轴上截得的弦长为4.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)点P为轨迹C上任意一点，直线l为轨迹C上在点P处的切线，直线l交直线：y＝－1于点R，过点P作PQ⊥l交轨迹C于点Q，求△PQR的面积的最小值．
解 (1)设C(x，y)，|CA|2－y2＝4，即x2＝4y.
∴动圆圆心的轨迹C的方程为x2＝4y.
(2)C的方程为x2＝4y，即y＝x2，故y′＝x.
设P(t≠0)，
PR所在的直线方程为y－＝(x－t)，
即y＝x－，则点R的横坐标xR＝，
|PR|＝ |xR－t|＝.
PQ所在的直线方程为y－＝－(x－t)，
即y＝－x＋2＋，由
得＋x－2－＝0，由xP＋xQ＝－得点Q的横坐标为xQ＝－－t，|PQ|＝ |xP－xQ|
＝ ＝.
∴S△PQR＝|PQ||PR|＝.
不妨设t>0，记f(t)＝(t>0)，
则当t＝2时，f(t)min＝4.
由S△PQR＝[f(t)]3，得△PQR的面积的最小值为16.
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