1、课时跟踪训练1(2022年石家庄模拟)已知函数f(x)ln xax2(aR)在x时取得极值(1)求a的值;(2)若F(x)x23x2f(x)(0)有唯一零点,求的值解:(1)依题意f(x)a,f2a0,则a2,经检验,a2满足题意(2)由(1)知f(x)ln x2x2,则F(x)x2ln xx,F(x)2x1.令t(x)2x2x1,0,180,方程2x2x10有两个异号的实根,设x10,x20,x0,x1应舍去则F(x)在(0,x2)上单调递减,在(x2,)上单调递增且当x0时,F(x),当x时,F(x),当xx2时,F(x2)0,F(x)取得最小值F(x2)F(x)有唯一零点,F(x2)0,
2、则,即,得F(x2)xln x2x2ln x2x2ln x20.又令p(x)ln x,则p(x)0(x0) .故p(x)在(0,)上单调递减,留意到p(1)0,故x21,得1.2已知函数f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当a2时,求f(x)的图象在x1处的切线方程;(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点,求实数m的取值范围解:(1)当a2时,f(x)2ln xx22x,f(x)2x2,切点坐标为(1,1),切线的斜率为kf(1)2,切线方程为y12(x1),即2xy10(2)方程f(x)axm0即为2ln xx2m0令g(x)2ln xx2m,则g(x)2x,x,g(x)0时,
3、x1当x1时,g(x)0,当1xe时,g(x)0,故函数g(x)在x1处取得极大值g(1)m1,又gm,g(e)m2e2,g(e)g4e20,则g(e)g,故函数g(x)在上的最小值是g(e)方程f(x)axm0在上有两个不相等的实数根,则,解得1m2,故实数m的取值范围是.3已知函数f(x)x(a1)ln x(aR),g(x)x2exxex.(1)当x1,e时,求f(x)的最小值;(2)当a1时,若存在x1e,e2,使得对任意的x22,0,f(x1)g(x2)恒成立,求a的取值范围解:(1)f(x)的定义域为(0,),f(x).当a1时,x1,e时,f(x)0,f(x)在1,e上为增函数,f
4、(x)minf(1)1a.当1ae时,x1,a时,f(x)0,f(x)为减函数;xa时,f(x)0;xa,e时,f(x)0,f(x)为增函数所以f(x)minf(a)a(a1)ln a1.当ae时,x1,e时,f(x)0,f(x)在1,e上为减函数f(x)minf(e)e(a1).综上,当a1时,f(x)min1a;当1ae时f(x)mina(a1)ln a1;当ae时,f(x)mine(a1).(2)由题意知:f(x)(xe,e2)的最小值小于g(x)(x2,0)的最小值由(1)知f(x)在e,e2上单调递增,f(x)minf(e)e(a1).g(x)(1ex)x.当x2,0时,g(x)0,
5、g(x)为减函数,g(x)ming(0)1,所以e(a1)1,即a,所以a的取值范围为.4(2022年郑州模拟)已知函数f(x)ln x,g(x) .(1)当ke时,求函数h(x)f(x)g(x)的单调区间和极值;(2)若f(x)g(x)恒成立,求实数k的值解:(1)留意到函数f(x)的定义域为(0,),h(x)ln x(x0),当ke时,h(x),若0xe,则h(x)0;若xe,则h(x)0.所以h(x)是(0,e)上的减函数,是(e,)上的增函数,故h(x)minh(e)2e,故函数h(x)的减区间为(0,e),增区间为(e,),微小值为2e,无极大值(2)由(1)知h(x),当k0时,h(x)0对x0恒成立,所以h(x)是(0,)上的增函数,留意到h(1)0,所以0x1时,h(x)0,不合题意当k0时,若0xk,h(x)0;若xk,h(x)0.所以h(x)是(0,k)上的减函数,是(k,)上的增函数,故只需h(x)minh(k)ln kk10.令u(x)ln xx1(x0),u(x)1,当0x1时,u(x)0;当x1时,u(x)0.所以u(x)是(0,1)上的增函数,是(1,)上的减函数故u(x)u(1)0,当且仅当x1时等号成立所以当且仅当k1时,h(x)0成立,即k1为所求