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第三节 圆的方程
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析 由于圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a＝0，解得a＝1.
答案 B
2．方程|x|－1＝所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
解析 由题意得
即
或
故原方程表示两个半圆．
答案 D
3．(2021·青岛模拟)若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B.
C．(－∞，－3)∪ D．(－3，＋∞)
解析 圆的方程可化为(x－a)2＋y2＝3－2a.过点A(a，a)可作圆的两条切线，所以
解之得a<－3或1<a<，
故a的取值范围为(－∞，－3)∪.
答案 C
4．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为( )
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(0，－1)
解析 由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圆的半径r＝＝，
当k＝0时，rmax＝＝1，
此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，
即x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1)．
答案 D
5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＝0
解析 由(a－1)x－y＋a＋1＝0得a(x＋1)－(x＋y－1)＝0，∴直线恒过定点(－1,2)．
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.
答案 C
6．若圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，0)
C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
解析 将圆的方程变形为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a>0，即a<2.∵圆关于直线y＝x＋2b对称，∴圆心在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，解得b＝－2，∴a－b<4.
答案 A
二、填空题
7．经过三点A(1，－1)、B(1,4)、C(4，－2)的圆的方程为______________．
解析 依据题意，设所求圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
由于圆过A、B、C三点，
所以有解得
故所求圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
答案 x2＋y2－7x－3y＋2＝0
8．已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是______________．
解析 设圆心坐标为M(x，y)，
则(x－1)2＋(y＋1)2＝2，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝9.
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝9
9．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．
解析 lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝，则AB边上的高的最小值为－1.
故△ABC面积的最小值是×2×
＝3－.
答案 3－
三、解答题
10．依据下列条件求圆的方程．
(1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；
(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．
解 (1)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意列出方程组
解之得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
(2)方法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有解得
∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
方法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．
∴半径r＝＝2.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x＝5上．圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A(29，0)．
(1)求圆弧C2的方程；
(2)曲线C上是否存在点P，满足PA＝PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．
解 (1)圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169，令x＝5，解得M(5,12)，N(5，－12)．
则线段AM中垂线的方程为y－6＝2(x－17)，令y＝0，得圆弧C2所在圆的圆心为(14,0)，
又圆弧C2所在圆的半径r2＝29－14＝15，
∴圆弧C2的方程为(x－14)2＋y2＝225(5≤x≤29)．
(2)不存在．理由：假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝PO，得x2＋y2＋2x－29＝0，
由
解得x＝－70(舍去)．
由
解得x＝0(舍去)，综上，这样的点P不存在．
1．设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为( )
A．1 B．2
C. D．3
解析 依题意，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心是点C(1，1)，半径是1，易知|PC|的最小值等于圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋3＝0的距离，即＝2，
而四边形PACB的面积等于2S△PAC＝2×(|PA|·|AC|)＝|PA|·|AC|＝|PA|＝，
因此四边形PACB的面积的最小值是＝.
答案 C
2．(2022·江西卷)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )
A.π B.π
C．(6－2)π D.π
解析 由题意得以AB为直径的圆C过原点O，圆心C为AB的中点，设D为切点，要使圆C的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC＋CD最小，其最小值为OE(过原点O作直线2x＋y－4＝0的垂线，垂足为E)的长度．由点到直线的距离公式得OE＝.∴圆C面积的最小值为π2＝π.故选A.
答案 A
3．(2021·江苏扬州中学月考)已知方程x2＋－＝0有两个不等实根a和b，那么过点A(a，a2)，B(b，b2)的直线与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．
解析 由题意可知过A，B两点的直线方程为(a＋b)x－y－ab＝0，圆心到直线AB的距离为d＝，而a＋b＝－，ab＝－，因此d＝，化简后得d＝1，故直线与圆相切．
答案 相切
4．已知曲线C的方程为：ax2＋ay2－2a2x－4y＝0(a≠0，a为常数)．
(1)推断曲线C的外形；
(2)设曲线C分别与x轴，y轴交于点A，B(A，B不同于原点O)，试推断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的推断；
(3)设直线l：y＝－2x＋4与曲线C交于不同的两点M，N，且|OM|＝|ON|，求曲线C的方程．
解 (1)将曲线C的方程化为x2＋y2－2ax－y＝0⇒(x－a)2＋2＝a2＋，可知曲线C是以点为圆心，以 为半径的圆．
(2)△AOB的面积S为定值．
证明如下：
在曲线C的方程中令y＝0，得ax(x－2a)＝0，得点A(2a,0)，
在曲线C方程中令x＝0，得y(ay－4)＝0，得点B，
∴S＝|OA|·|OB|＝·|2a|·＝4(定值)．
(3)∵圆C过坐标原点，且|OM|＝|ON|，
∴OC⊥MN，∴＝，∴a＝±2.
当a＝－2时，圆心坐标为(－2，－1)，圆的半径为，
圆心到直线l：y＝－2x＋4的距离
d＝＝>，
直线l与圆C相离，不合题意舍去，
∴a＝2时符合题意．
这时曲线C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0.
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