2022届高三数学一轮总复习基础练习：第三章-三角函数、解三角形3-7-.docx

第七节正弦定理、余弦定理应用举例时间：45分钟分值：100分 一、选择题1两座灯塔A和B与海岸观看站C的距离相等，灯塔A在观看站南偏西40，灯塔B在观看站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析由条件及图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.答案D2张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的大路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A2 km B3 kmC3 km D2 km解析如图，由条件知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，所以ASB45.由正弦定理知，所以BSsin303.答案B3轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是()A35海里 B35海里C35海里 D70海里解析设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E，F，则依题意有CE25250，CF15230，且ECF120，EF70.答案D4一个大型喷水池的中心有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 mB100 mC120 mD150 m解析设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，依据余弦定理得，(h)2h210022h100cos60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.答案A5(2021滁州调研)线段AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开头多少h后，两车的距离最小()A. B1C. D2解析如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD80t，BE50t.由于AB200，所以BD20080t，问题就是求DE最小时t的值由余弦定理，得DE2BD2BE22BDBEcos60(20080t)22 500t2(20080t)50t12 900t242 000t40 000.当t时，DE最小答案C6如图，为了解某海疆海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，则DEF的余弦值为()A. B.C. D.解析如图所示，作DMAC交BE于N，交CF于M.DF10(m)DE130(m)EF150(m)在DEF中，由余弦定理，得cosDEF.故选A.答案A二、填空题7已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得ABC120，则A、C两地的距离为_km.解析如图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos120700，AC10(km)答案108如图，一艘船上午930在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它连续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8n mile.此船的航速是_n mile/h.解析设航速为v n mile/h在ABS中，ABv，BS8，BSA45，由正弦定理，得，v32(n mile/h)答案329如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_米解析在BCD中 ，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30，BC10(米)在RtABC中，tan60，ABBCtan6010(米)答案10三、解答题10为扑灭某着火点，现场支配了两支水枪，如图，D是着火点，A、B分别是水枪位置，已知AB15 m，在A处看到着火点的仰角为60，ABC30，BAC105，求两支水枪的喷射距离至少是多少？解在ABC中，可知ACB45，由正弦定理，得，解得AC15 m.又CAD60，AD30，CD15，sin105sin(4560).由正弦定理得.解得BC m.由勾股定理可得BD15m，综上可知，两支水枪的喷射距离至少分别为30 m，15 m.11如图，在海岸A处发觉北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30方向逃跑问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t海里，BD10t海里，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcosA(1)2222(1)2cos1206，解得BC，又，sinABC，ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t.t小时15分钟缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟 1如图所示，在坡度肯定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100米到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50米，山坡对于地平面的坡角为，则cos()A. B2C.1 D.解析在ABC中，由正弦定理可知，BC50()，在BCD中，sinBDC1，由题图，知cossinADEsinBDC1.答案C2(2021厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，假如sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为()A. B.C. D.解析由题意得sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a20.则cosA0，0A，0A.因此得角A的取值范围是.答案D3(2022江苏卷)若ABC的内角满足sinAsinB2sinC，则cosC的最小值是_解析由已知sinAsinB2sinC及正弦定理可得ab2c，cosC，当且仅当3a22b2，即时等号成立，cosC的最小值为.答案4如图，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP2，点M在线段PQ上(1)若OM，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值解(1)在OMP中，P45，OM，OP2.由余弦定理得，OM2OP2PM22OPPMcos45，得PM24PM30，解得PM1或PM3.(2)设POM，060，在OMP中，由正弦定理，得，所以OM，同理ON，故SOMNOMONsinMON由于060，30230150，所以当30时，sin(230)的最大值为1，此时OMN的面积取到最小值即POM30时，OMN的面积最小，其最小值为84.