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第三节 平面对量数量积及平面对量应用举例
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析 a⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，故cos〈a，b〉＝－， 故所求夹角为.
答案 D
2．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量＝(1,1)，n＝(1，－1)，且n·＝2，则n·等于( )
A．－2 B．2
C．0 D．2或－2
解析 n·＝n·(＋)＝n·＋n·＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.
答案 B
3．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B.
C．－ D．－
解析 ＝(2,1)，＝(5,5)，||＝＝5，则||cos〈，〉＝＝.
答案 A
4．(2021·昆明质检)在直角三角形ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D使＝2，那么·＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 如图，＝＋，
又∵＝2，
∴＝＋＝＋(－)，
即＝＋，
∵∠C＝，∴·＝0，
∴·
＝·
＝＋·＝6，故选D.
答案 D
5．(2022·浙江“六市六校”联盟)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析 由|a＋b|＝|a－b|两边平方，得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|两边平方，得3a2＋2a·b－b2＝0，故b2＝3a2，则(a＋b)·a＝a2＋a·b＝a2，|a＋b|＝＝2|a|，设向量a＋b与a的夹角为θ，则有cosθ＝＝＝，故θ＝.
答案 B
6．AD，BE分别是△ABC的中线，若||＝||＝1，且与的夹角为120°，则·＝( )
A. B.
C. D.
解析 ∵||＝||＝1，且与的夹角为120°，∴·＝||||cos120°＝－.
由得
∴·＝(－)·
＝
＝＝，选D.
答案 D
二、填空题
7．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
解析 ∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|·|b|·cos45°＝|b|，
∴|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，
∴|b|＝3.
答案 3
8．(2022·湖北卷)若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.
解析 ∵||＝||，·＝0
∴△OAB是以O为顶点的等腰直角三角形，
又||＝＝
∴||＝||＝2.
答案 2
9．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝CD＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
解析 建立如图所示的直角坐标系，设P(0，t)，由题意可知，A(2,0)，B(1,1)，＝(2，－t)，＝(1,1－t)，＋3＝
(5,3－4t)，
|＋3|＝
＝ .
当t＝时，|＋3|取得最小值5.
答案 5
三、解答题
10．如图，平面四边形ABCD中，AB＝13，AC＝10，AD＝5，cos∠DAC＝，·＝120.
(1)求cos∠BAD；
(2)设＝x＋y，求x，y的值．
解 (1)设∠CAB＝α，∠CAD＝β，
cosα＝＝＝，cosβ＝，
∴sinα＝，sinβ＝.
∴cos∠BAD＝cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×－×＝.
(2)由＝x＋y得
∴解得
11．已知向量a＝(4,5cosα)，b＝(3，－4tanα)，α∈，a⊥b，求：
(1)|a＋b|；
(2)cos的值．
解 (1)由于a⊥b，
所以a·b＝4×3＋5cosα×(－4tanα)＝0，
解得sinα＝，
又由于α∈，
所以cosα＝，tanα＝＝，
所以a＋b＝(7,1)，
因此|a＋b|＝＝5.
(2)cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin
＝×－×＝.
1．(2022·浙江卷)设θ为两个非零向量a，b的夹角．已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.( )
A．若θ确定，则|a|唯一确定
B．若θ确定，则|b|唯一确定
C．若|a|确定，则θ唯一确定
D．若|b|确定，则θ唯一确定
解析 |b＋ta|2＝(b＋ta)2＝|b|2＋|a|2t2＋2a·bt，令f(t)＝|a|2t2＋2a·bt＋|b|2，
由于|b＋ta|的最小值为1，所以函数f(t)的最小值也为1，即＝1.
又a，b均为非零向量，且夹角为θ，
因此|b|2－|b|2cos2θ＝1，于是|b|2＝，
因此当θ确定时，|b|2的值唯一确定，亦即|b|唯一确定．
答案 B
2．(2022·重庆卷)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.
解析 由题意得|a|＝2，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2××＝10.
答案 10
3．(2022·天津卷)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF，若·＝1，则λ的值为________．
解析
∵四边形ABCD为菱形，且边长为2，∠BAD＝120°，
∴＝，＝.
由题意得
＝＋＝＋，＝＋＝＋.
∴·＝·
＝×4＋·＋·＋×4
＝＋×2×2×＋＝1.
∴－2－＋＝1.
∴＝3－，∴λ＝2.
答案 2
4．已知向量＝(λcosα，λsinα)(λ≠0)，＝(－sinβ，cosβ)，其中O为坐标原点．
(1)若α－β＝且λ＝1，求向量与的夹角；
(2)若||≥2||对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．
解 (1)当λ＝1时，＝(cosα，sinα)，
故||＝＝1，
||＝＝1.
又·＝cosα ·(－sinβ)＋sinαcosβ
＝sin(α－β)＝sin＝，
故cos〈，〉＝＝.
由于〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝.
(2)＝－＝(λcosα＋sinβ，λsinα－cosβ)，故||≥2||对任意实数α，β都成立，即(λcosα＋sinβ)2＋(λsinα－cosβ)2≥4对任意实数α，β都成立．
整理得λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意实数α，β都成立．
由于－1≤sin(β－α)≤1，
所以或
解得λ≥3或λ≤－3.
所以实数λ的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)
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