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其次课时 最值、范围与定点、定值问题
时间：45分钟 分值：100分
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点M，其离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m(|k|≤)与椭圆C相交于A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求|OP|的取值范围．
解 (1)由已知，可得e2＝＝，所以3a2＝4b2.又点M(1，)在椭圆C上，所以＋＝1.由以上两式联立，解得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当k＝0时，P(0,2m)在椭圆C上，
解得m＝±，所以|OP|＝.
当k≠0时，由消去y并化简整理，得
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝48(3＋4k2－m2)>0，设A，B，P点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x0，y0)，则
x0＝x1＋x2＝－，y0＝y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.
由于点P在椭圆C上，所以＋＝1.
从而＋＝1，化简得4m2＝3＋4k2.
所以|OP|＝＝
＝＝ ＝ .
由于0<|k|≤，所以3<4k2＋3≤4，即≤<1.
故<|OP|≤.
综上，所求|OP|的取值范围是.
2．设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．
(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程．
(2)设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．
解 (1)由于焦距为1，所以2a2－1＝，解得a2＝，从而椭圆E的方程为＋＝1.
(2)证明：设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝，直线F2P的斜率kF2P＝，故直线F2P的方程为y＝(x－c)，当x＝0时，y＝，即点Q的坐标为，因此直线F1Q的斜率kF1Q＝.由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝·＝－1，化简得y＝x－(2a2－1)，①
将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y＝1上．
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(2，)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若kAC·kBD＝－.
求证：四边形ABCD的面积为定值．
解 (1)由题意e＝＝，＋＝1，又a2＝b2＋c2，
解得a2＝8，b2＝4，故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)证明：设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
Δ＝(4km)2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)>0，①
由根与系数的关系得
∵kAC·kBD＝－＝－，∴＝－.
∴y1y2＝－x1x2＝－·＝－.
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝k2＋km＋m2＝，
∴－＝，∴－(m2－4)＝m2－8k2.
∴4k2＋2＝m2.
设原点到直线AB的距离为d，则
S△AOB＝|AB|·d＝·|x2－x1|·＝
＝
＝ ＝2，
∴S四边形ABCD＝4S△AOB＝8，
即四边形ABCD的面积为定值．
1．已知椭圆C过点M，点F(－，0)是椭圆的左焦点，点P，Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.
解 (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知，得解得
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由椭圆的标准方程为＋＝1，
可知|PF|＝
＝ ＝2＋x1，
同理|QF|＝2＋x2，
|MF|＝ ＝2＋，
∵2|MF|＝|PF|＋|QF|，
∴2＝4＋(x1＋x2)，
∴x1＋x2＝2.
①当x1≠x2时，
由得x－x＋2(y－y)＝0，
∴＝－·.
设线段PQ的中点为N(1，n)，
由kPQ＝＝－，
得线段PQ的中垂线方程为y－n＝2n(x－1)，
∴(2x－1)n－y＝0，该直线恒过肯定点A.
②当x1＝x2时，P，Q
或P，Q，
线段PQ的中垂线是x轴，也过点A.
综上，线段PQ的中垂线过定点A.
2．(2022·浙江卷)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，＝3.
(1)若|PF|＝3，求点M的坐标；
(2)求△ABP面积的最大值．
解 (1)由题意知焦点F(0,1)，准线方程为y＝－1.
设P(x0，y0)．由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得到y0＝2，
所以P(2，2)或P(－2，2)．
由＝3，分别得M或M.
(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)．
由
得x2－4kx－4m＝0.
于是Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，
所以AB中点M的坐标为(2k,2k2＋m)．
由＝3，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)．
所以
由x＝4y0得k2＝－m＋.
由Δ>0，k2≥0，
得－<m≤.
又由于|AB|＝4，
点F(0,1)到直线AB的距离为d＝，
所以S△ABP＝4S△ABF＝8|m－1|
＝.
记f(m)＝3m3－5m2＋m＋1.
令f′(m)＝9m2－10m＋1＝0，
解得m1＝，m2＝1.
可得f(m)在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．又f＝>f.
所以，当m＝时，f(m)取到最大值，此时k＝±.
所以，△ABP面积的最大值为.
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