1、其次课时最值、范围与定点、定值问题时间：45分钟分值：100分 1已知椭圆C：1(ab0)经过点M，其离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：ykxm(|k|)与椭圆C相交于A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点求|OP|的取值范围解(1)由已知，可得e2，所以3a24b2.又点M(1，)在椭圆C上，所以1.由以上两式联立，解得a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)当k0时，P(0,2m)在椭圆C上，解得m，所以|OP|.当k0时，由消去y并化简整理，得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)
2、48(34k2m2)0，设A，B，P点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x0，y0)，则x0x1x2，y0y1y2k(x1x2)2m.由于点P在椭圆C上，所以1.从而1，化简得4m234k2.所以|OP| .由于0|k|，所以34k234，即1.故b0)的离心率为，且过点(2，)(1)求椭圆的标准方程；(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若kACkBD.求证：四边形ABCD的面积为定值解(1)由题意e，1，又a2b2c2，解得a28，b24，故椭圆的标准方程为1.(2)证明：设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(12k2
3、)x24kmx2m280，(4km)24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0，由根与系数的关系得kACkBD，.y1y2x1x2.又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2kmm2，(m24)m28k2.4k22m2.设原点到直线AB的距离为d，则SAOB|AB|d|x2x1| 2，S四边形ABCD4SAOB8，即四边形ABCD的面积为定值 1已知椭圆C过点M，点F(，0)是椭圆的左焦点，点P，Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.解(1)设椭圆C的方程为1(
4、ab0)，由已知，得解得椭圆的标准方程为1.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由椭圆的标准方程为1，可知|PF| 2x1，同理|QF|2x2，|MF| 2，2|MF|PF|QF|，24(x1x2)，x1x22.当x1x2时，由得xx2(yy)0，.设线段PQ的中点为N(1，n)，由kPQ，得线段PQ的中垂线方程为yn2n(x1)，(2x1)ny0，该直线恒过肯定点A.当x1x2时，P，Q或P，Q，线段PQ的中垂线是x轴，也过点A.综上，线段PQ的中垂线过定点A.2(2022浙江卷)已知ABP的三个顶点都在抛物线C：x24y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，3.(1)若|PF|3，求点M的坐标；(2)求ABP面积的最大值解(1)由题意知焦点F(0,1)，准线方程为y1.设P(x0，y0)由抛物线定义知|PF|y01，得到y02，所以P(2，2)或P(2，2)由3，分别得M或M.(2)设直线AB的方程为ykxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)由得x24kx4m0.于是16k216m0，x1x24k，x1x24m，所以AB中点M的坐标为(2k,2k2m)由3，得(x0,1y0)3(2k,2k2m1)所以由x4y0得k2m.由0，k20，得f.所以，当m时，f(m)取到最大值，此时k.所以，ABP面积的最大值为.
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