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第五节 椭圆
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6
C．4 D．12
解析 由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a＝4.
答案 C
2．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )
A．－21 B．21
C．－或21 D.或21
解析 若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，
由＝，即＝，解得k＝－；
若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，
由＝，即＝，解得k＝21.
答案 C
3．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于( )
A．4 B．5
C．7 D．8
解析 将椭圆的方程转化为标准形式为＋＝1，明显m－2>10－m，即m>6，且()2－()2＝22，解得m＝8.
答案 D
4．(2021·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点(2，)在椭圆上知＋＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
即2a＝2·2c，＝.
又c2＝a2－b2，联立解得a2＝8，b2＝6.
答案 A
5．(2021·北京海淀期末)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析 由椭圆方程知c＝＝1，所以F1(－1,0)，F2(1，0)，由于椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y＝，所以y0＝±.
设P(x1，y1)，则＝(x1＋1，y1)，＝(0，y0)，
所以·＝y1y0.
由于点P是椭圆C上的动点，所以－≤y1≤，
·的最大值为.故B正确．
答案 B
6．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线相互垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 椭圆上长轴端点向圆外引两条切线P′A，P′B，则两切线形成的角∠AP′B最小，若椭圆C1上存在点P令切线相互垂直，则只需∠AP′B≤90°，即α＝∠AP′O≤45°.
∴sinα＝≤sin45°＝，解得a2≤2c2，
∴e2≥，即e≥，而0<e<1，
∴≤e<1，即e∈.
答案 C
二、填空题
7．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
解析 由于方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以|a|－1>a＋3>0，解得－3<a<－2.
答案 (－3，－2)
8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.
解析 设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，又由于斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，由于A，B关于原点对称，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝.
答案
9．(2022·江西卷)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
解析 依题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，＋＝1，＋＝1，
∴＋＝0，
＝－＝－＝.
∴e＝ ＝.
答案
三、解答题
10．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P在其次象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．
解 (1)依题意得|F1F2|＝2，又2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，
∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a.∴a＝2，c＝1，b2＝3.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)设P点坐标为(x，y)，∵∠F2F1P＝120°，
∴PF1所在直线的方程为y＝(x＋1)·tan120°，
即y＝－(x＋1)．
解方程组
并留意到x<0，y>0，可得
∴S△PF1F2＝|F1F2|·＝.
11．(2022·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
解 设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)由于B(0，b)，所以BF2＝＝a.
又BF2＝，故a＝.
由于点C在椭圆上，所以＋＝1.解得b2＝1.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由于B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，
所以直线AB的方程为＋＝1.
解方程组
得
所以点A的坐标为.
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.
由于直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，
所以·＝－1.
又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝.
因此e＝.
1．已知椭圆：＋＝1(0<b<2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是( )
A．1 B.
C. D.
解析 由题意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，由于|BF2|＋|AF2|的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A，B，代入椭圆方程得＋＝1，又c2＝a2－b2＝4－b2，所以＋＝1，即1－＋＝1，所以＝，解得b2＝3，所以b＝.
答案 D
2．以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 由于c＝1，所以离心率最大即为长轴最小．
点F1(－1,0)关于直线x－y＋3＝0的对称点为F′(－3,2)，设点P为直线与椭圆的公共点，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝|PF′|＋|PF2|≥|F′F2|＝2.取等号时离心率取最大值，此时椭圆方程为＋＝1.
答案 C
3．(2022·安徽卷)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
解析 设点B的坐标为(x0，y0)．∵x2＋＝1，
∴F1(－，0)，F2(，0)．
∵AF2⊥x轴，∴A(，b2)．
∵|AF1|＝3|F1B|，∴＝3.
∴(－2，－b2)＝3(x0＋，y0)．
∴x0＝－，y0＝－.
∴点B的坐标为.
将B代入x2＋＝1，得b2＝.
∴椭圆E的方程为x2＋y2＝1.
答案 x2＋y2＝1
4．(2022·陕西卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左右焦点分别为F1(－c,0)，
F2(c,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
解 (1)由题设知解得a＝2，b＝，c＝1.
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题设知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝.
由d<1得|m|<.(*)
∴|CD|＝2＝2 ＝ .
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0.
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
∴|AB|＝ ＝ .
由＝得 ＝1，解得m＝±，满足(*)．
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
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