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第三次月考数学理试题
一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分）
1．已知全集，函数的定义域为，则（ ）
A． B． C． D．
2. 已知幂函数的图象过点，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
3．已知命题p、q，“为真”是“p为假”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．当时，，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
5．已知是定义域为的偶函数，当时，，
则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，
则 （ ）
A． B． C． D．
7．设函数，且关于的方程恰有个不同的实数根，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
8. 已知函数，，的零点分别为，则 的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
9．若对任意，恒成立，则实数的取值范
围是 .
10．已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方
程为，则圆的圆心到直线的距离为 .
11．函数的值域用区间表示为________．
12．函数，则函数的零点个数是 .
13．如图，内接于⊙，过中点作平行于的直线，交
于点，交⊙于、，交⊙在点切线于点，若，
则的长为 ．
14．设，
已知函数是定义域为的偶函数，
当时，
若关于的方程有且只有个不同实数根，则的取
值范围是 ．
三、解答题（本题共6题，满分80分．解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤．）
15．设命题p：函数的定义域为R；
命题q：不等式对一切均成立。
（Ⅰ）假如p是真命题，求实数的取值范围；
（Ⅱ）假如命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，
求实数的取值范围．
16．已知函数.
（Ⅰ）求在区间上的最大值；
（Ⅱ）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围．
17．设且，已知函数是奇函数
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）当时，函数的值域为，求实数的值．
18． 设函数（为常数，其中e是自然对数的底数）
（Ⅰ）当时，求函数的极值点；
（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求k的取值范围．
19．已知函数，其中是自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：是上的偶函数；
（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论．
20．已知函数，其中，是自然对数的底数
若，且函数在区间内有零点，求实数的取值范围．
参考答案
一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分）
1．B 2. A 3．A 3．D 4．C 5．B 6．D 7. A 8．B
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
9． 10． 11． 12． 13． 14．
三、解答题（本题共6题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．解：（Ⅰ）若命题p为真命题，则恒成立 …………4分
（Ⅱ）若命题q 为真命题，则； …………8分
“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，即p，q一真一假
故 …………13分
所以，当时，有最大值 ……5分
（Ⅱ）设切点为，切线斜率
从而切线方程为 …………7分
又过点，所以
整理得
令，则
由得或
当变化时，与的变化如下表：
—
↗
极大值
↘
微小值
↗
…………11分
于是， ，所以 …………13分
17． 解：
（Ⅰ）由于是奇函数，所以 …………1分
从而，即
于是，，由的任意性知
解得或（舍）
所以 …………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，（或）
…………5分
当时，，即的增区间为，
当时，，即的减区间为，
…………9分
（Ⅲ）由得 …………11分
所以在上单调递减
从而，即，
又，得 …………13分
18．
解：（Ⅰ）
…………2分
…………6分
（Ⅱ）
…………13分
19． （Ⅰ），，
∴是上的偶函数 …………3分
（Ⅱ）由题意，，即
∵，∴，即对恒成立
令，则对任意恒成立
∵，
当且仅当时等号成立 ∴ …………9分
（Ⅲ），当时，∴在上单调增
令，
∵，∴，即在上单调减
∵存在，使得，
∴，即 …………11分
∵
设，则
当时，，单调增；
当时，，单调减
因此至多有两个零点，而
当时，，；当时，，；
当时，，． …………14分
20．由，又…………2分
若函数在区间内有零点，
则函数在区间内至少有三个单调区间
由于 所以 …………4分
又
由于， 所以：
①若，则，，
所以函数在区间上单增，
②若，则，
所以函数在区间上单减， …………6分
于是，当或时，函数即在区间上单调，不行能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求。 …………8分
③若，则，
于是当时，当时，
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