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第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是( )
A. B.
C．－ D．－
解析 设直线l的斜率为k，则k＝－＝.
答案 A
2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B．－
C．－ D.
解析 设P(xP,1)，由题意及中点坐标公式得xP＋7＝2，解得xP＝－5，即P(－5,1)，所以k＝－.
答案 B
3．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、其次、第四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
解析 由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.
答案 A
4．(2022·浙江台州第三次统练)直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a>1)，当此直线在x，y轴的截距和最小时，实数a的值是( )
A．1 B.
C．2 D．3
解析 当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝，令t＝a＋3＋＝5＋(a－1)＋.
∵a>1，∴a－1>0.∴t≥5＋2 ＝9.
当且仅当a－1＝，即a＝3时，等号成立．
答案 D
5．平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，－1)，C(2，－3)两点，D点在直线3x－y＋1＝0上移动，则B点的轨迹方程为( )
A．3x－y－20＝0 B．3x－y－10＝0
C．3x－y－9＝0 D．3x－y－12＝0
解析 设AC的中点为O，则.
设B(x，y)关于点O的对称点为(x0，y0)，
即D(x0，y0)，则
由3x0－y0＋1＝0得3x－y－20＝0.
答案 A
6．(2021·浙江质检)已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．k≥或k≤－4 B．－4≤k≤
C.≤k≤4 D．－≤k≤4
解析 如图所示，∵kPN＝＝，kPM＝＝－4，∴要使直线l与线段MN相交，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM，由已知得k≥或k≤－4，故选A.
答案 A
二、填空题
7．过点P(－1,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是________．
解析 当直线过原点时，方程为y＝－2x；当直线不经过原点时，设方程为＋＝1，把P(－1,2)代入上式，得a＝，所以方程为x＋2y－3＝0.
答案 y＝－2x或x＋2y－3＝0
8．直线2x＋my＝1的倾斜角为α，若m∈(－∞，－2)∪[2，＋∞)，则α的取值范围是________．
解析 依题意tanα＝－，由于m∈(－∞，－2)∪[2，＋∞)，所以0<tanα<或－1≤tanα<0，所以α∈∪.
答案 ∪
9．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________.
解析 由于kAB＝＝2，kAC＝＝－.
A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即－＝2，
解得x＝－3.
答案 －3
三、解答题
10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；
(2)斜率为.
解 (1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
11．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：
(1)△ABC的平行于BC边的中位线的一般式方程和截距式方程；
(2)BC边的中线的一般式方程，并化为截距式方程．
解 (1)平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线．
由于线段AB、AC中点坐标为，，
所以这条直线的方程为＝，
整理得6x－8y－13＝0，
化为截距式方程为＋＝1.
(2)由于BC边上的中点为(2,3)，
所以BC边上的中线方程为＝，
即7x－y－11＝0，
化为截距式方程为＋＝1.
1．已知点A(－1,0)，B(cosα，sinα)，且|AB|＝，则直线AB的方程为( )
A．y＝x＋或y＝－x－
B．y＝x＋或y＝－x－
C．y＝x＋1或y＝－x－1
D．y＝x＋或y＝－x－
解析 |AB|＝＝＝，所以cosα＝，sinα＝±，所以kAB＝±，即直线AB的方程为y＝±(x＋1)，所以直线AB的方程为y＝x＋或y＝－x－.
答案 B
2．(2021·北京模拟)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为( )
A. B．2
C．3 D．4
解析 原点O到直线l的距离d＝＝＝，∴m2＋n2＝，在直线l的方程中，令y＝0可得x＝，即直线l与x轴交于点A，令x＝0可得y＝，即直线l与y轴交于点B，∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝··＝≥＝3，当且仅当|m|＝|n|时上式取等号，由于m2＋n2＝，故当m2＝n2＝时，△AOB的面积取最小值3.
答案 C
3．将直线l1：x＋y－3＝0围着点P(1,2)按逆时针方向旋转45°后得到直线l2，则l2的方程为________．
解析 直线l1的倾斜角为135°，点P正好在直线l1上，因此旋转后得直线l2的倾斜角为0°，方程为y＝2.
答案 y＝2
4．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解 (1)证明：方法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，
故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
方法二：设直线l过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，
解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，
则直线l在y轴上的截距为2k＋1，
要使直线l不经过第四象限，则
解得k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，
在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B(0,1＋2k)．
又－<0且1＋2k>0，∴k>0.
故S＝|OA||OB|＝×(1＋2k)
＝≥(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
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