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第六节 双曲线
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．(2022·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
A．2 B.
C. D．1
解析 由已知得＝2，且a>0，解得a＝1，故选D.
答案 D
2．(2022·广东卷)若实数k满足0<k<9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )
A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
解析 由于0<k<9，所以方程－＝1与－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线．双曲线－＝1中，其实轴长为10，虚轴长为2，焦距为2＝2；双曲线－＝1中，其实轴长为2，虚轴长为6，焦距为2＝2.因此两曲线的焦距相等，故选A.
答案 A
3．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 由双曲线C的右焦点为F(3,0)，知c＝3.
由e＝＝，则a＝2，故b2＝c2－a2＝9－4＝5，
所以双曲线C的方程为－＝1.
答案 B
4．(2022·新课标全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A. B．3
C.m D．3m
解析 由题意，可得双曲线C为－＝1，则双曲线的半焦距c＝.不妨取右焦点(，0)，其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.所以由点到直线的距离公式得d＝＝.故选A.
答案 A
5．(2022·江西卷)过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心，半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析
设双曲线的右顶点为B，则B(a,0)．
不妨取渐近线y＝x，则A点的坐标为(a，b)，
从而可知|OA|＝c.
∵由已知可得|OF|＝|AF|＝c＝4，
∴△OAF为边长是c的等边三角形．
又AB⊥OF，∴|OB|＝a＝2，|AB|＝b＝2.
故所求的双曲线方程为－＝1.
答案 A
6．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则该双曲线的离心率为( )
A. B．2
C. D.
解析 由题意可知F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，渐近线l1的直线方程为y＝x，渐近线l2的直线方程为y＝－x.
∵l2∥PF2，∴＝－，即ay0＝bc－bx0.
∵点P在l1上，即ay0＝bx0，
∴bx0＝bc－bx0，解得x0＝.∴P.
∵l2⊥PF1，∴·＝－1，即3a2＝b2.
∵a2＋b2＝c2，∴4a2＝c2，即c＝2a.
答案 B
二、填空题
7．双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．
解析 本题考查双曲线的渐近线方程．
由a2＝16，b2＝9，得渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案 y＝±x
8．双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．
解析 a2＝16，b2＝m，得c2＝16＋m，则e＝＝＝，∴m＝9.
答案 9
9．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的渐近线y＝x交于点A(不同于O点)，则△OAF的面积为________．
解析 由于右焦点F(c,0)到渐近线y＝x，即bx－ay＝0的距离为＝b，所以|OA|＝2a，故△OAF的面积为×2a×b＝ab.
答案 ab
三、解答题
10．直线l：y＝(x－2)和双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且|AB|＝，又l关于直线l1：y＝x对称的直线l2与x轴平行．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)求双曲线C的方程．
解
(1)设双曲线C：－＝1过一、三象限的渐近线l1：－＝0的倾斜角为α.
由于l和l2关于l1对称，记它们的交点为P.
而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.
依题意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α.
又l：y＝(x－2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，α＝30°.
所以tan30°＝＝.
于是e2＝＝1＋＝1＋＝.所以e＝.
(2)由＝，可设双曲线方程为－＝1，即x2－3y2＝3k2.
将y＝(x－2)代入x2－3y2＝3k2，
得x2－3·3(x－2)2＝3k2.
化简得8x2－36x＋36＋3k2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝ |x1－x2|＝2
＝2 ＝＝，解得k2＝1.
故所求双曲线C的方程为－y2＝1.
11．(2021·湛江模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解 (1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b.
∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2.
∴双曲线方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，∴x0＝y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c.
∴x0＝c，∴点A的坐标为.
代入双曲线方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2.②
又∵a2＋b2＝c2，
∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0.
∴34－82＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0.
∵e>1，∴e＝，∴双曲线的离心率为.
1．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5,0)和C(5,0)，顶点B在双曲线－＝1上，则为( )
A. B.
C. D.
解析 设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，由正弦定理得＝，
由双曲线的标准方程和定义可知，A，C是双曲线的焦点，且b＝10，|c－a|＝8.
所以＝＝.故选C.
答案 C
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，A，B为其左，右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若PA，PB，PO的斜率为k1，k2，k3，则m＝k1k2k3的取值范围为( )
A．(0,3) B．(0，)
C. D．(0,8)
解析 e＝＝2，b＝a，设P(x，y)，则－＝1，k1k2＝·＝＝＝3，又双曲线的渐近线为y＝±x，所以0<k3<，故0<m<3，选A.
答案 A
3．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1,2) B．(，2)
C．(，2) D．(2,3)
解析 由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．依据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.
答案 A
4．(2022·福建卷)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.
(1)求双曲线E的离心率．
(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.摸索究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．
解 (1)由于双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，
所以＝2，所以＝2，故c＝a，
从而双曲线E的离心率e＝＝.
(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，
则|OC|＝a，|AB|＝4a.
又由于△OAB的面积为8，
所以|OC|·|AB|＝8，
因此a·4a＝8，解得a＝2，
此时双曲线E的方程为－＝1.
若存在满足条件的双曲线E，
则E的方程只能为－＝1.
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．
设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得y1＝，同理，得y2＝.
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得
·＝8，
即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)．
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.
由于4－k2<0，
所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)
＝－16(4k2－m2－16)．
又由于m2＝4(k2－4)，
所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
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