2020-2021学年北师大版高中数学必修5双基限时练13.docx

双基限时练(十三)
一、选择题
1．在△ABC中，＝＝＝k，R为△ABC外接圆半径，则k为(　　)
A．2R B．R
C．4R D.
解析　由正弦定理可知＝＝＝2R，
∴k＝2R.
答案　A
2．在△ABC中，c＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为(　　)
A. B.
C．3 D．3
解析　由A＝30°，B＝120°，
∴C＝180°－(B＋A)＝30°，
∴△ABC为等腰三角形，a＝c，
∴S△ABC＝acsinB＝×2×2×＝.
答案　B
3．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC为(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析　由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，代入式子a＝2bcosC，得2RsinA＝2×2RsinB·cosC，∴sinA＝2·sinB·cosC.∵sinA＝sin(B＋C)，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC.化简、整理，得sin(B－C)＝0.∵0°<B<180°，0°<C<180°，
∴－180°<B－C<180°.
∴B－C＝0，∴B＝C，故选A.
答案　A
4．若＝，则△ABC的外形是(　　)
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析　由＝，得＝，得sin2A＝sin2B，又A、B为三角形的内角，故有A＝B或A＋B＝.
答案　D
5．在△ABC中，a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝(　　)
A．4 B．2
C．1 D.
解析　∵cosC＝，∴sinC＝＝，
∴S△ABC＝absinC＝×3×b＝4，得b＝2.
答案　B
6．在△OAB中，O为坐标原点，A(1，cosθ)，B(sinθ，1)，
θ∈，则当△OAB的面积达到最大值时，θ等于(　　)
A. B.
C. D.
解析　由S△OAB＝(1－sinθcosθ)＝－sin2θ，
又θ∈(0，]，∴当θ＝时，S取得最大值．
答案　D
二、填空题
7．方程sinA·x2＋2sinB·x＋sinC＝0有重根，且A，B，C为△ABC的三内角，则△ABC的三边a，b，c的关系是________．
解析　由题意得4sin2B－4sinA·sinC＝0，由正弦定理，得b2＝ac.
答案　b2＝ac
8．在△ABC中，三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且＝－，则角B＝________.
解析　由＝－，得
＝－.又A＋B＋C＝π，
∴＝－.
∴sin(A－B)＋sin(A＋B)＝－sinA.
即 2sinAcosB＝－sinA.
∵sinA≠0，
∴cosB＝－.
又B为三角形的内角，
∴B＝π.
答案　π
9．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－，则BC＝________________.
解析　在△ADC中，∵∠ADB＝120°，
∴∠ADC＝60°.
∴S△ADC＝AD·DCsin60°＝3－.
∴DC＝2－2.又BD＝DC，
∴BC＝DC＝3－3.
答案　3－3
三、解答题
10．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，a＝2(＋1)，求△ABC的面积．
解　A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋60°)＝75°.
由正弦定理＝，
得b＝＝＝＝4.
故S△ABC＝ab·sinC＝×2(＋1)×4×＝6＋2.
11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b－c＝2acos(60°＋C)，求角A.
解　由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
∵b－c＝2acos(60°＋C)，
∴2RsinB－2RsinC＝2·2RsinAcos(60°＋C)．
∴sinB－sinC＝sinAcosC－sinAsinC.
又∵B＝π－(A＋C)，
∴sinB－sinC＝sin(A＋C)－sinC＝sinAcosC＋cosAsinC－sinC.
∴cosAsinC－sinC＝－sinAsinC.
∵sinC≠0，
∴sinA＋cosA＝1，即sin＝.
∴在△ABC中，A＝.
12．已知△ABC的内角A、B及其对边a，b满足a＋b＝acotA＋bcotB，求内角C.
解　由a＋b＝acotA＋bcotB及正弦定理，得
sinA＋sinB＝cosA＋cosB，
得sinA－cosA＝cosB－sinB.
∴sin＝sin.
又0<A＋B<π，
∴A－＝－B，A＋B＝.
∴C＝.
思 维 探 究
13．已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试推断这个三角形的外形．
解　设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得x1＋x2＝bcosA，x1·x2＝acosB.依题意得bcosA＝acosB.依据正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC的外接圆半径)，∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0.∵0<A<π，0<B<π，∴A－B＝0，即A＝B，∴该三角形为等腰三角形．