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双基限时练(十三)
1．在等比数列{an}中，假如a6＝6，a9＝9，那么a3为( )
A．4 B.
C. D．2
解析 a6·q3＝a9，∴q3＝＝，∴a3＝＝6×＝4.
答案 A
2．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于( )
A．12 B．10
C．8 D．2＋log35
解析 由等比数列的性质，知
a1·a2·a3…a10＝(a5·a6)5＝95＝310，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2…a10)＝log3310＝10.
答案 B
3．数列{an}为等比数列，且an＝an＋1＋an＋2，an>0，则该数列的公比q是( )
A. B.
C. D.
解析 由an＝an＋1＋an＋2，得an＝anq＋anq2.
∵an>0，∴q2＋q－1＝0，解得q＝.
答案 D
4．在等比数列{an}中，an>an＋1，且a7·a14＝6，a4＋a17＝5，则等于( )
A. B.
C. D．6
解析 ∵a7·a14＝a4·a17＝6，
a4＋a17＝5，且an>an＋1，
∴a4＝3，a17＝2，∴q13＝＝.
∴＝＝＝.
答案 A
5．在等比数列{an}中，a5·a6·a7＝3，a6·a7·a8＝24，则a7·a8·a9的值等于( )
A．48 B．72
C．144 D．192
解析 a6·a7·a8＝(a5·a6·a7)q3
∴24＝3q3，∴q3＝8，
∴a7·a8·a9＝(a6·a7·a8)q3＝24×8＝192.
答案 D
6．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析 依题意，知ak＝a1＋(k－1)d＝9d＋(k－1)d＝(k＋8)d，
a2k＝a1＋(2k－1)d＝(2k＋8)d.
又a＝a1·a2k.∴(k＋8)2d2＝9d·(2k＋8)d.
即k2－2k－8＝0.
∴k＝4，或k＝－2(舍去)．
答案 B
7．已知{an}是等比数列，若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝________.
解析 ∵a2a4＝a，a4a6＝a，
∴a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25.
又an>0，∴a3＋a5＝5.
答案 5
8．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2an＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
解析 ∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，
又b7＝a7≠0，∴a7＝4.∴b6b8＝b＝16.
答案 16
9．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．
解析 依题意这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝a＝[2()9]2＝4×29＝2048.
答案 2048
10．一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项，并求出通项公式．
解 设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么
a1q2＝12，①
a1q3＝18，②
②÷①得 q＝.③
把③代入①得 a1＝.
因此，a2＝a1q＝×＝8，
an＝a1·qn－1＝·()n－1，
所以数列的第1项和第2项分别为和8，通项公式为an＝()n－1.
11．三个互不相等的数成等差数列，假如适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．
解 由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2.
故这三个数可表示为2－d,2,2＋d.
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)．
解得d＝6或d＝0(舍去)．
此时三个数为－4,2,8.
②若2为等比中项，则有22＝(2－d)(2＋d)．解得d＝0(舍去)．
③若2＋d为等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解得d＝－6或d＝0(舍去)．
此时三个数为8,2，－4.
综上可知，这三个数是8,2，－4.
12．在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的通项公式；
(3)当＋＋…＋最大时，求n的值．
解 (1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a＋2a3a5＋a＝25.
又an>0，∴a3＋a5＝5.①
又a3与a5的等比中项为2，
∴a3a5＝4.②
而q∈(0,1)，∴a3>a5.
∴由①与②解得a3＝4，a5＝1.
∴q2＝＝，q＝.∴a1＝16.
∴an＝16×()n－1＝25－n.
(2)bn＝log2an＝5－n，bn＋1－bn＝－1，b1＝4.
∴数列{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列．
∴Sn＝.
(3)由＝，得当n≤8时，>0，
当n＝9时，＝0，当n>9时，<0，
∴当n＝8或n＝9时，＋＋…＋最大．
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