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课时提升作业(五十四)
一、选择题
1.在(x-)20的开放式中,系数是有理数的项共有( )
(A)4项 (B)5项 (C)6项 (D)7项
2.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈Z)是一个单调递增数列,则k的最大值是( )
(A)1 (B)5 (C)6 (D)11
3.(2022·重庆高考)(+)8的开放式中常数项为( )
(A) (B) (C) (D)105
4.(2021·柳州模拟)(x-1)10的开放式的第6项的系数是( )
(A)x5 (B)-x5 (C) (D)-
5.设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn,若a1+a2+…+an=63,则开放式中系数最大的项是
( )
(A)15x2 (B)20x3 (C)21x3 (D)35x3
6.设(5x-)n的开放式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,则开放式中x的系数为( )
(A)-150 (B)150 (C)300 (D)-300
7.(2021·晋江模拟)(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为( )
(A)2 (B)-1 (C)-2 (D)1
8.若(3x+)n的开放式中各项系数的和为1024,则开放式中含x的整数次幂的项共有( )
(A)2项 (B)3项 (C)5项 (D)6项
9.(2021·桂林模拟)9192被100除所得的余数为( )
(A)1 (B)81 (C)-81 (D)992
10.(力气挑战题)(1-2x)2022=a0+a1x+…+a2022x2022(x∈R),则++…+ 的值为
( )
(A)2 (B)0 (C)-1 (D)-2
二、填空题
11.(2022·上海高考)在(x-)6的二项开放式中,常数项等于 .
12.记(2x+)n的开放式中第m项的系数为bm,若b3=2b4,则n= .
13.(2022·大纲版全国卷)若(x+)n的开放式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该开放式中的系数为 .
14.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a1+a2+…+=29-n,则n= .
三、解答题
15.(力气挑战题)已知(1+x+mx2)10的开放式中x4的系数大于-330,求m的取值范围.
答案解析
1.【解析】选A.开放式通项为Tr+1=(x)20-r(-)r
=()20-r(-)rx20-r
=·(-1)rx20-r,
r=2,8,14,20时系数为有理数.
2.【解析】选C.由二项式定理,得
a1=,a2=,a3=,
a4=,a5=,a6=,a7=,…,
a10=,a11=,
由于a1<a2<a3<a4<a5<a6>a7,且数列a1,a2,a3,…,ak是一个单调递增数列,所以k的最大值是6.
3.【思路点拨】先写出通项,再令x的指数为零即可求解.
【解析】选B.二项开放式的通项为
Tr+1=()8-r()r
=()rx4-r,令4-r=0,解得r=4,
所以()4=,选B.
4.【解析】选D.由于(x-1)10的开放式中的第6项是T6=x5(-1)5=-x5,故第6项的系数是-,选D.
5.【解析】选B.令x=1,则(1+1)n=++…+=64.∴n=6.
故(1+x)6的开放式中系数最大的项为T4=x3=20x3.
6.【解析】选B.由题意知,M=4n,N=2n.由M-N=240可解得n=4.所以开放式中x的系数为52·(-1)2=150.
7.【解析】选C.∵(x2+1)(2x+1)9
=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,
∴令x=-1得,2×(-1)9=a0+a1+a2+…+a11,
即a0+a1+a2+…+a11=-2.
8.【解析】选B.令x=1,则22n=1024,∴n=5.
Tr+1=(3x)5-r()r
=·35-r.
含x的整数次幂即使为整数,r=0,r=2,r=4,有3项.
9.【思路点拨】利用9192=(100-9)92的开放式,或利用(90+1)92的开放式.
【解析】选B.方法一:(100-9)92=·10092-×10091·9+·10090·92-…-·100·991+992.
开放式中前92项均能被100整除,只需求最终一项除以100的余数,由992=(10-1)92
=1092-…+102-10+1.
前91项均能被100整除,后两项和为-919,因原式为正,可从前面的数中分别出1000,结果为1000-919=81,
∴9192被100除可得余数为81,故选B.
方法二:(90+1)92=·9092+·9091+…+·902+·90+.
前91项均能被100整除,剩下两项为92×90+1=8281,明显8281除以100所得余数为81,故选B.
10.【思路点拨】可用赋值法,分别令x=0和x=可得结果.
【解析】选C.令x=0;则a0=1,
令x=,则a0+++…+=0.
∴++…+=-1.
故选C.
【变式备选】已知0<a<1,则方程a|x|=|logax|的实根个数为n,且(x+1)n+(x+1)11= a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a10(x+2)10+a11(x+2)11,则a1=( )
(A)9 (B)-10 (C)11 (D)-12
【解析】选A.如图,作出y=a|x|,y=|logax|(0<a<1)的图象,知有两个交点,故n=2.
∴(x+1)2+(x+1)11
=[(x+2)-1]2+[(x+2)-1]11,
故a1为含(x+2)1项的系数.
又Tr+1=(x+2)n-r(-1)r,
n=2时,Tr+1=(x+2)2-r(-1)r,
含x+2项的系数为-=-2.
n=11时,含x+2项的系数为(-1)10=11,
∴a1=11+(-2)=9.
11.【解析】二项开放式的通项为
Tr+1=x6-r(-)r
=(-2)rx6-2r,
令6-2r=0,得r=3,所以常数项为
T4=(-2)3=-160.
答案:-160
12.【解析】由于二项式(2x+)n的开放式的通项是Tr+1=·(2x)n-r·(=·2n-r·xn-2r,因此由题意得·2n-2=2·2n-3,即=,=,又n≥3,所以n-2=3,n=5.
答案:5
【变式备选】设(x-)6(a>0)的开放式中x3的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a的值是 .
【解析】对于Tr+1=x6-r()r=(-a)r,
B=(-a)4,A=(-a)2.
∵B=4A,a>0,∴a=2.
答案:2
13.【解析】由于开放式中的第3项和第7项的二项式系数相同,即=,所以n=8,所以开放式的通项为Tr+1=x8-r()r=x8-2r.令8-2r=-2,解得r=5,所以T6=()2,所以的系数为=56.
答案:56
14.【解析】易知an=1.令x=0得a0=n,所以a0+a1+…+an=30.
又令x=1,有2+22+…+2n=a0+a1+…+an=30,
即2n+1-2=30,所以n=4.
答案:4
【方法技巧】求开放式中的系数和的方法
一般接受赋值法:即把式子看成某字母的函数,再结合所求系数式子的特点,分别令字母取一些常数0,1,-1等,便可求得系数和.
15.【解析】由于(1+x+mx2)10=[1+x(mx+1)]10
=1+x×(mx+1)+x2(mx+1)2+x3(mx+1)3+x4(mx+1)4+…+x10(mx+1)10.
由此可知,上式中只有第三、四、五项的开放式中含有x4项,其系数分别为:
m2,m,.
由已知,得m2+m+>-330.
化简整理,得m2+8m+12>0,即(m+2)(m+6)>0.
所以m>-2或m<-6,故m的取值范围是(-∞,-6)∪(-2,+∞).
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