【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：4.5.docx

第四章 4.5 第5课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．与图中曲线对应的函数是(　　)

A．y＝sinx
B．y＝sin|x|
C．y＝－sin|x|
D．y＝－|sinx|
答案　C
2．已知简谐运动f(x)＝2sin(x＋φ)(|φ|<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
A．T＝6，φ＝　　　　　　　B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
答案　A
解析　∵图象过点(0,1)，∴2sinφ＝1，∴sinφ＝
∵|φ|<，∴φ＝，T＝＝6.
3．将函数y＝sin x的图象上全部的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)
A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－) D．y＝sin(x－)
答案　C
解析　将y＝sinx的图象向右平移个单位得到y＝sin(x－)的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin(x－)的图象，选C.
4．方程sinπx＝x的解的个数是(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
答案　C
解析　如图所示

在x≥0，有4个交点，
∴方程sinπx＝x的解有7个．
5．设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)
A. B.
C. D．3
答案　C
解析　解法一　函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移后得到函数y＝sin[ω(x－)＋]＋2＝sin(ωx－ω＋)的图象，由于两图象重合，所以sin(ωx＋)＋2＝sin(ωx－ω＋)＋2，∴ωx＋＝ωx－ω＋＋2kπ，k∈Z.
∴ω＝k，k∈Z.当k＝1时，ω的最小值是.
解法二　本题的实质是已知函数y＝sin(ωx＋)＋2(ω＞0)的最小正周期是，求ω的值．由T＝＝，∴ω＝.
6．函数y＝sinx－cosx的图像可由y＝sinx＋cosx的图像向右平移(　　)
A.个单位 B．π个单位
C.个单位 D.个单位
答案　D
解析　y＝sinx＋cosx＝sin
y＝sinx－cosx＝sin
＝sin
7.

电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图象如右图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)
A．－5 A B．5 A
C．5A D．10 A
答案　A
解析　由图象知A＝10，＝－＝，
∴ω＝＝100π.∴T＝10sin(100πt＋φ)．
(，10)为五点中的其次个点，∴100π×＋φ＝.
∴φ＝.∴I＝10sin(100πt＋)，当t＝秒时，I＝－5 A，故选A.
8．为了得到函数y＝sin (2x－)的图像，只需把函数y＝sin (2x＋)的图像(　　)
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
答案　B
解析　由y＝sin(2x＋)y＝sin[2(x＋φ)＋]＝sin(2x－)，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－，即向右平移个长度单位．故选B.
9．要得到函数y＝cosx的图象，只需将函数y＝sin(2x＋)的图象上全部的点的(　　)
A．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
C．横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
答案　C
解析　y＝cosx＝sin(x＋)，y＝sin(2x＋)图象上全部点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin(x＋)的图象，再向左平移个单位．
二、填空题
10．将函数y＝sin(－2x)的图象向右平移个单位，所得函数图象的解析式为________．
答案　y＝sin(π－2x)
11．已知f(x)＝cos(ωx＋)的图象与y＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝sinωx的图象向左平移________个单位．
答案　
解析　依题意，y＝f(x)的最小正周期为π，故ω＝2，由于y＝cos(2x＋)＝sin(2x＋＋)＝sin(2x＋)＝sin[2(x＋)]，所以把y＝sin2x的图象向左平移个单位即可得到y＝cos(2x＋)的图象．
12．已知将函数f(x)＝2sinx的图象向左平移1个单位，然后向上平移2个单位后得到的图象与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，则函数g(x)＝________.
答案　2sinx＋2
解析　将f(x)＝2sinx的图象向左平移1个单位后得到y＝2sin[(x＋1)]的图象，向上平移2个单位后得到y＝2sin[(x＋1)]＋2的图象，又由于其与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以y＝g(x)＝2sin [(2－x＋1)]＋2＝2sin[(3－x)]＋2＝2sin(π－x)＋2＝2sinx＋2.
13．函数y＝sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象恰好关于直线x＝对称，则φ的最小值是________．
答案　
解析　y＝sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得y＝sin2(x－φ)＝sin(2x－2φ)．因其中一条对称轴方程为x＝，则2·－2φ＝kπ＋(k∈Z)．由于φ>0，所以φ的最小值为
三、解答题
14．已知函数f(x)＝2sinxcos(－x)－sin(π＋x)cosx＋sin(＋x)cosx.
(1)求函数y＝f(x)的最小正周期和最值；
(2)指出y＝f(x)的图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于坐标原点对称．
解析　(1)f(x)＝2sinxsinx＋sinxcosx＋cosxcosx＝sin2x＋1＋sinxcosx＝＋sin2x－cos2x＝＋sin(2x－)，
∴y＝f(x)的最小正周期T＝π，
y＝f(x)的最大值为＋1＝，最小值为－1＝.
(2)将函数f(x) ＝＋sin(2x－)的图象左移个单位，下移个单位得到y＝sin 2x关于坐标原点对称．
(附注：平移(－－，－)，k∈Z均可)
15．已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值．
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，]上的最小值．
解析　(1)由于f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx，
所以f(x)＝sinωxcosωx＋
＝sin2ωx＋cos2ωx＋＝sin(2ωx＋)＋.
由于ω>0，依题意得＝π，所以ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)＋，
所以g(x)＝f(2x)＝sin(4x＋)＋.
当0≤x≤时，≤4x＋≤，
所以≤sin(4x＋)≤1.因此1≤g(x)≤.
故g(x)在区间[0，]上的最小值为1.
16．已知函数f(x)＝，g(x)＝sin2x－.
(1)函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象经过怎样的变化得出？
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值，并求使h(x)取得最小值的x的集合．
解析　(1)f(x)＝cos2x＝sin(2x＋)＝
sin2(x＋)，
所以要得到f(x)的图象只需要把g(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得的图象向上平移个单位长度即可．
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos2x－sin2x＋＝
cos(2x＋)＋.
当2x＋＝2kπ＋π(k∈Z)时，
h(x)取得最小值－＋＝.
h(x)取得最小值时，对应的x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．

拓展练习·自助餐

1．y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
答案　－π≤a≤0
2．如图是周期为2π的三角函数y＝f(x)的图象，那么f(x)可以写成(　　)

A．sin(1＋x)
B．sin(－1－x)
C．sin(x－1)
D．sin(1－x)
答案　D
解析　设y＝sin(x＋φ)，点(1,0)为五点法作图的第三点，∴由sin(1＋φ)＝0⇒1＋φ＝π，φ＝π－1，∴y＝sin(x＋π－1)＝sin(1－x)．

3．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.
答案　
解析　明显2π－＝＝⇒T＝＝⇒ω＝，将x＝代入y＝sin(ωx＋φ)，得×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，从而可得φ＝＋2kπ，k∈Z，又φ∈[－π，π)，∴φ＝.
4．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不行能是(　　)

答案　D
解析　当a＝0时，f(x)＝1，图象即为C；当0<a<1时，三角函数的周期为T＝>2π，图象即为A；当a>1时，三角函数的周期为T＝<2π，图象即为B.故选D.
5．已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2 xcos φ－sin (＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(，)．
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值．
解析　(1)由于f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2 xcos φ－sin(＋φ)(0<φ<π)，
所以f(x)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ
＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ
＝(sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ)
＝cos(2x－φ)，
又函数图象过点(，)，所以＝cos(2×－φ)，
即cos(－φ)＝1，又0<φ<π，所以φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝cos(2x－)，
将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知
g(x)＝f(2x)＝cos(4x－)，
由于x∈[0，]，所以4x∈[0，π]，
因此4x－∈[－，]，故－≤cos(4x－)≤1.
所以y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为和－.