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第一章 基本初等函数（Ⅱ）
§1．1 任意角的概念与弧度制
1．1．1 角的概念的推广
课时目标 1．了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零角．2．理解象限角与终边相同的角的定义．把握终边相同的角的表示方法，并会推断角所在的象限．
1．角
(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定义
图示
正角
按________________而成的角
负角
按________________而成的角
零角
一条射线__________，称它形成了一个零角
2．象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，这时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角．假如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
一、选择题
1．与405°角终边相同的角是( )
A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈Z
C．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z
2．若α＝45°＋k·180° (k∈Z)，则α的终边在( )
A．第一或第三象限 B．其次或第三象限
C．其次或第四象限 D．第三或第四象限
3．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )
A．A＝B B．B＝C
C．A＝C D．A＝D
4．若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．其次象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
5．集合M＝，
P＝，则M、P之间的关系为( )
A．M＝P B．MP
C．MP D．M∩P＝∅
6．已知α为第三象限角，则所在的象限是( )
A．第一或其次象限 B．其次或第三象限
C．第一或第三象限 D．其次或第四象限
二、填空题
7．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在______．
8．经过10分钟，分针转了________度．
9．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是_____________________．
10．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________．
三、解答题
11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′．
12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
力气提升
13．如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．
14．设α是其次象限角，问是第几象限角？
1．对角的理解，学校阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要留意“旋转方向”打算角的“正负”，“旋转幅度”打算角的“确定值大小”．
2．关于终边相同角的生疏
一般地，全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
留意：(1)α为任意角．
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．
(3)相等的角，终边确定相同；终边相同的角不愿定相等，终边相同的角有很多多个，它们相差360°的整数倍．
(4)在解终边相同角的问题时，k∈Z这一条件不能少．
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
§1．1 任意角的概念与弧度制
1．1．1 角的概念的推广
答案
学问梳理
1．(2)逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有旋转
作业设计
1．C 2．A
3．D [锐角θ满足0°<θ<90°；而B中θ<90°，可以为负角；C中θ满足k·360°<θ<k·360°＋90°，k∈Z；D中满足0°<θ<90°，
故A＝D．]
4．C [特殊值法，给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，
故180°－α在第三象限．]
5．B [对集合M来说，x＝(2k±1)×45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)×45°，即45°的倍数．]
6．D [由k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，
得·360°＋90°<<·360°＋135°，k∈Z．
当k为偶数时，为其次象限角；
当k为奇数时，为第四象限角．]
7．x轴的正半轴
8．－60
9．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
10．－110°或250°
解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k·360°＋250°，k∈Z．∵－360°<θ<360°，
∴k＝－1或0．
∴θ＝－110°或250°．
11．解 (1)由于－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)由于650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)由于－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是其次象限角．
12．解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．
②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．
∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}
∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)180°＋30°
≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．
13．解 终边落在y＝x (x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y＝x (x≤0) 上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边在y＝x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．
14．解 当α为其次象限角时，
90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴30°＋·360°<<60°＋·360°，k∈Z．
当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°，此时为第一象限角；
当k＝3n＋1时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，此时为其次象限角；
当k＝3n＋2时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，此时为第四象限角．
综上可知是第一、二、四象限角．
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