资源描述
课时作业31 数列求和
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．(2022·西安调研)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4＝( )
A．7 B．8
C．15 D．16
解析：设数列{an}的公比为q，则4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，
∴q＝2.∴S4＝＝15.
答案：C
2．数列1×，2×，3×，4×，…的前n项和为( )
A．2－－ B．2－－
C.(n2＋n＋2)－ D.n(n＋1)＋1－
解析：S＝1×＋2×＋3×＋4×＋…＋n×＝1×＋2×＋3×＋…＋n×，①
则S＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，②
①－②得S＝＋＋＋…＋－n×＝－＝1－－.
∴S＝2－－.
答案：B
3．(2022·日照模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝log2(n∈N＋)，设其前n项和为Sn，则使Sn<－5成立的自然数n( )
A．有最大值63 B．有最小值63
C．有最大值32 D．有最小值32
解析：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝log2＋log2＋log2＋…＋log2
＝log2
＝log2<－5，
∴<，
∴64<n＋2，
∴n>62，
∴nmin＝63.
答案：B
4．(2022·临沂模拟)在数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为( )
A．2 011 B．2 012
C．2 013 D．2 014
解析：∵an＝＝－，∴Sn＝1－＝＝，解得n＝2 013.
答案：C
5．(2022·新课标全国)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为( )
A．3 690 B．3 660
C．1 845 D．1 830
解析：当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，
当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，
∴a2k＋1＋a2k－1＝2，
∴a2k＋1＋a2k＋3＝2，
∴a2k－1＝a2k＋3，
∴a1＝a5＝…＝a61.
∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝＝30×61＝1 830.
答案：D
6．(2022·山东日照一模，10)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝( )
A．6n－n2
B．n2－6n＋18
C.
D.
解析：由Sn＝n2－6n得{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2.
∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，
∴n≤3时，an<0；n>3时，an>0，
∴Tn＝
答案：C
7．已知数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，则该数列的前2 012项的和等于( )
A. B．3 015
C．1 509 D．2 010
解析：由于a1＝，又an＋1＝＋，所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，即得an＝故数列的前2 012项的和等于S2 012＝1 006×(1＋)＝1 509.
答案：C
8．(2022·郑州模拟)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N＋)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝( )
A. B．6
C．10 D．11
解析：依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项，偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×＋1＝6.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N＋)，则S100＝________.
解析：由an＋2－an＝1＋(－1)n，知a2k＋2－a2k＝2，
a2k＋1－a2k－1＝0，∴a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝1，数列{a2k}是等差数列，a2k＝2k.
∴S100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋＝2 600.
答案：2 600
10．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数．数列{bn}满足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12则数列{bn}的前________项和最大．
解析：∵bn＋1－bn＝lg＝lgq(常数)
∴{bn}为等差数列，
∴b1＋2d＝18，b1＋5d＝12，
可得d＝－2，b1＝22，由bn＝－2n＋24≥0，
知n≤12，∴S11＝S12＝132最大．
答案：11或12
11．下面给出一个“直角三角形数阵”
，
，，
……
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij(i≥j，i，j∈N＋)，则a83等于________．
解析：设第一列为数列{an1}，则an1＝＋(n－1)×＝.设第n行第m列为anm＝×()m－1，
∴a83＝×()3－1＝.
答案：
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log(3an＋1)时，求数列{}的前n项和Tn.
解：(1)由已知得
得到an＋1＝an(n≥2)．
∴数列{an}是以a2为首项，以为公比的等比数列．
又a2＝S1＝a1＝，
∴an＝a2×()n－2＝()n－2(n≥2)．
又a1＝1不适合上式，
∴an＝
(2)bn＝log(3an＋1)＝log[·()n－1]＝n.
∴＝＝－.
∴Tn＝＋＋＋…＋
＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)
＝1－＝.
13．(2021·广东理，19)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N＋.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
解：(1)依题意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4；
(2)当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，
2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)
两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－
整理得(n＋1)an＝nan＋1－(n＋1)，
即－＝1，又－＝1
故数列{}是首项为＝1，公差为1的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.
(3)当n＝1时，＝1<；
当n＝2时，＋＝1＋＝<；
当n≥3时，＝<＝－，此时
＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋(－)＋(－)＋…＋(－)
＝1＋＋－＝
综上，对一切正整数n，有＋＋…＋<
14．(2022·南昌模拟)将数列{an}中的全部项按每一行比上一行多两项的规章排成如下数表：
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
…
已知表中的第一列数a1，a2，a5，…构成一个等差数列，记为{bn}，且b2＝4，b5＝10.表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，…构成数列{cn}，其前n项和为Sn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)若上表中，从其次行起，每一行中的数按从左到右的挨次均构成等比数列，公比为同一个正数，且a13＝1.
①求Sn；
②记M＝{n|(n＋1)cn≥λ，n∈N＋}，若集合M的元素个数为3，求实数λ的取值范围．
解：(1)设等差数列{bn}的公差为d，
则解得
所以bn＝2n.
(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q.
由于前n行共有1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2个数，且32<13<42，a10＝b4＝8，
所以a13＝a10q3＝8q3，又a13＝1，所以解得q＝.
由已知可得cn＝bnqn－1，因此cn＝2n·()n－1＝.
所以Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＋＋＋…＋，Sn＝＋＋…＋，因此Sn＝＋＋＋…＋－＝4－－＝4－，
解得Sn＝8－.
②由①知cn＝，不等式(n＋1)cn≥λ，可化为≥λ.
设f(n)＝，
计算得f(1)＝4，f(2)＝f(3)＝6，f(4)＝5，f(5)＝.
由于f(n＋1)－f(n)＝，
所以当n≥3时，f(n＋1)<f(n)．
由于集合M的元素个数为3，所以λ的取值范围是(4,5]．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
