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双基限时练(十三)
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．假如两个平面相互垂直，那么一个平面内的任何直线都与另一个平面垂直
B．假如两个平面与某一条直线垂直，那么两个平面垂直
C．假如一个平面含有另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
D．假如两个平面相互垂直，过其中一个平面内的点做另一个平面的垂线，那么这条直线不肯定在这个平面内
答案 C
2．若两条直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．至多一个
C．有很多个 D．肯定不存在
解析 若a⊥b，则存在一个过a与b垂直的平面，若a不垂直b，则不存在过a与b垂直的平面．
答案 B
3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )
A．若mβ，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
解析 由m∥α可知α内至少有一条直线m′∥m，又m⊥β，∴m′⊥β，又m′α，∴α⊥β，故选C.
答案 C
4.
以等腰直角三角形ABC的斜边AB的中线CD为棱，将△ABC折叠，使平面ACD⊥面BCD，则AC与BC的夹角为( )
A．30° B．60°
C．90° D．不确定
解析 ∵CD⊥BD，CD⊥DA，又面ACD⊥面BCD，
∴∠BDA＝90°，设AD＝x，
则AC＝BC＝x，AB＝x，
∴△ABC为等边三角形，∴∠BCA＝60°.
答案 B
5.
如图所示，α⊥β，CDβ，CD⊥AB，CE，CFα，∠FEC＝90°，则下列说法中正确的个数为( )
①EF⊥面β；②EF⊥DE；③面EFD⊥面DEC；④面DEF⊥β.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ∵DC⊥AB，α⊥β，α∩β＝AB，∴CD⊥α.又EFα，
∴DC⊥EF.又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC，∴EF⊥面DCE.又DE面DEF，∴EF⊥DE；又EF面DEF.∴面DEF⊥面DCE.故②③正确，①④明显不正确．
答案 B
6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列推断正确的是( )
A．A1C⊥面AB1D1 B．A1C⊥面AB1C1D
C．A1B⊥面AB1D1 D．A1B⊥AD1
解析 ∵在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∴A1C1⊥B1D1，B1D1⊥CC1，∴B1D1⊥面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.同理可证A1C⊥AD1，又AD1∩B1D1＝D1，
∴A1C⊥面AB1D1.
答案 A
二、填空题
7．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，AB与BC不垂直，则平行四边形ABCD肯定是________．
解析 由PA⊥面ABCD，知PA⊥BD.
又BD⊥PC，
∴BD⊥面PAC，故BD⊥AC.
又AB与BC不垂直，
∴四边形ABCD为菱形．
答案 菱形
8.
如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，图中相互垂直的平面有________对．
解析 面PAB⊥面ABCD，面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面PAD，面PBC⊥PAB，面PCD⊥面PAD.
答案 5
9．对于四周体ABCD，给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.
其中真命题的序号是________．(写出全部真命题的序号)
解析 对于①，取BC的中点E，连接AE，DE，则
BC⊥面AED，故BC⊥AD，
故①对，②不肯定，③也不肯定．
对于④，过A作面BCD的垂线，垂足为O，
由AB⊥CD，BD⊥AC，可知O为△BCD的垂心，
∴BC⊥DO，又BC⊥AO，∴BC⊥面AOD，
即有BC⊥AD.故④正确，故正确的有①④.
答案 ①④
三、解答题
10．如图所示，三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，AA1⊥面ABC，AB＝AC，D为BC的中点．
求证：面A1AD⊥面BCC1B1.
证明 ∵AC＝AB，D为BC的中点，∴BC⊥AD.
又AA1⊥面ABC，∴AA1⊥BC.
又AA1∩AD＝A，∴BC⊥面A1AD.
∵BC面BCC1B1，
∴面A1AD⊥面BCC1B1.
11．如图所示，面PAB⊥面ABC，面PAC⊥面ABC，AE⊥面PBC，E为垂足．
(1)求证：PA⊥面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC为直角三角形．
证明
(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F，作DG⊥AB于G，
∵面PAC⊥面ABC，且面PAC∩面ABC＝AC，
∴DF⊥AP，同理可证DG⊥AP.
又DG∩DF＝D，DG面ABC，
DF面ABC，∴PA⊥面ABC.
(2)连接BE并延长交PC于H，
∵E为△PBC的垂心，∴PC⊥BE.
AE⊥面PBC，∴PC⊥AE.
∴PC⊥面ABE，∴PC⊥AB.
又PA⊥面ABC，∴PA⊥AB.
又PC∩PA，∴AB⊥面PAC.
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
12．某几何体的三视图，如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点，
(1)依据三视图，画出该几何体的直观图；
(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；②证明：
面PBD⊥面AGC.
解 (1)该几何体的直观图如图所示．
(2)①证明：连接AC，BD交于O，连接OG.
∵G为PB的中点，O为BD的中点，
∴OG∥PD，又OG面GAC，
PD⃘面AGC，∴PD∥面AGC.
②由三视图可知PO⊥面ABCD，
又AO⊥BO，∴AO⊥面PBD.
又AO面AGC，∴面PBD⊥面AGC.
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13．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，线段AD⊥平面ABC，AH⊥平面DBC，H为垂足．
求证：H不行能是△BCD的垂心．
证明 假设H是△BCD的垂心，则BH⊥CD，
∵AH⊥平面DBC，DC平面DBC，
∴AH⊥DC.
∵AH∩BH＝H，∴CD⊥平面ABH.
又AB平面ABH，∴AB⊥CD.
∵AD⊥平面ABC，AB平面ABC，∴AD⊥AB.
由于AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD.
∵AC平面ACD，∴AB⊥AC.
这与已知中∠BAC＝60°相冲突．
∴假设不成立．故H不行能是△BCD的垂心．
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