高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章-例谈反证法在解题中的应用.docx

例谈反证法在解题中的应用
反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步：
　　（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；
　　（2）归谬：由反设动身，导出冲突结果；
　　（3）作出结论：证明白反设不能成立，从而证明白所求证的结论成立.
其中，导出冲突是关键，通常有以下几种途径：与已知冲突，与公理、定理冲突，与假设冲突，自相冲突等.

　　一、证明“至多”或“至少”问题
　　例1　已知函数对其定义域内的任意两个实数，当时，都有．求证：至多有一个实数使得．
　　证明：假设存在两个不等实数，使得．
　　不妨设，由条件可知，与式冲突．
故至多有一个实数使得．

　　二、证明“不行能”问题
　　例2　给定实数，且，设函数，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴．
　　证明：假设函数图象上存在两点，使得直线平行于轴．
　　设且．由，
　　得，
　　解得．与已知冲突．
故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.

　　例3　双曲线的两支为，正三角形的三顶点位于此双曲线上．求证：不行能在双曲线的同一支上．
　　证明：假设正三角形的三顶点位于双曲线同一支如上，其坐标分别为，不妨设，则确定有．
　　于是

　　．
因此，．这说明是钝角三角形，与为正三角形冲突．故不行能在双曲线的同一支上．

　　三、证明“存在性”或“唯一性”问题
　　例4　已知函数的图象过点．问是否存在常数，使不等式对一切实数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
　　解：假设存在符合条件的．
　　的图象过，
　　，即．
　　又对一切实数都成立，
　　令，则．
　　，，．
　　．
　　由得
　　据题意，对于任意实数，与都成立．
　　对于，若，则，不合题意；若，欲使的解集为，则需即解得．
　　对于，再考虑，把代入，得，其解集为．
　　所以，存在满足条件的，其中．