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第3章 不等式
§3.1 不等关系
课时目标 1.初步学会作差法比较两实数的大小.2.把握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
1．比较实数a，b的大小
(1)文字叙述
假如a－b是正数，那么a____b；
假如a－b等于____，那么a＝b；
假如a－b是负数，那么a____b，反之也成立．
(2)符号表示
a－b>0⇔a____b；
a－b＝0⇔a____b；
a－b<0⇔a____b.
2．常用的不等式的基本性质
(1)a>b⇔b____a(对称性)；
(2)a>b，b>c⇒a____c(传递性)；
(3)a>b⇒a＋c____b＋c(可加性)；
(4)a>b，c>0⇒ac____bc；a>b，c<0⇒ac____bc；
(5)a>b，c>d⇒a＋c____b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0⇒ac____bd；
(7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒an____bn；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒____.
一、填空题
1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．
2．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是________．
①<；②a2>b2；③>；④a|c|>b|c|.
3．若x∈R，则与的大小关系为________．
4．设n>1，n∈N，A＝－，B＝－，则A与B的大小关系为________．
5．已知a、b为非零实数，且a<b，则下列命题不成立的是________．(只填序号)
①a2<b2；②a2b<ab2；③<；④<.
6．若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则a，b，c从小到大的挨次是__________．
7．若a>0且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，则M，N的大小关系为________．
8．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是________．
①ab>ac；②ac>bc；③a|b|>c|b|；④a2>b2>c2.
9．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中不正确的是____________．
①b－a>0；②a3＋b3<0；③a2－b2<0；④b＋a>0.
10．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，－>0(其中a、b、c、d均为实数)．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是________．
二、解答题
11．设a>b>0，试比较与的大小．
12．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．
力气提升
13．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是________．(填序号)①a1b1＋a2b2；②a1a2＋b1b2；③a1b2＋a2b1；④.
14．设x，y，z∈R，试比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.
2．作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
其次步：变形，常接受配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分状况争辩)
最终得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不行想当然．
答案：
第3章 不等式
§3.1 不等关系
学问梳理
1．(1)> 0 < (2)> ＝ < 2.(1)< (2)> (3)> (4)> < (5)> (6)> (7)> (8)>
作业设计
1．f(x)>g(x)
解析 ∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．
2．③
解析 对①，若a>b，b<0，则>0，<0，此时>，
∴①不成立；
对②，若a＝1，b＝－2，则a2<b2，∴②不成立；
对③，∵c2＋1≥1，且a>b，∴>恒成立，
∴③正确；
对④，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴④不成立．
3.≤
解析 －＝＝≤0.
∴≤.
4．A>B
解析 A＝，B＝
∵＋<＋，并且都为正数．∴A>B.
5．①②④
解析 对于①，在a<b中，当a<0，b<0时，a2<b2不成立；
对于②，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b<ab2不成立；
对于③，∵a<b，>0，∴<；
对于④，当a＝－1，b＝1时，＝＝－1，故不成立．
6．b<a<c
解析 ∵<x<1，∴－1<ln x<0.令t＝ln x，
则－1<t<0.
∴a－b＝t－2t＝－t>0.∴a>b.
c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，
又∵－1<t<0，∴0<t＋1<1，－2<t－1<－1，
∴c－a>0，∴c>a.∴c>a>b.
7．M>N
解析 当a>1时，a3＋1>a2＋1，
此时，y＝loga x为R＋上的增函数，
∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，当0<a<1时，a3＋1<a2＋1，
此时，y＝logax为R＋上的减函数，
∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，
∴a>0且a≠1时，总有M>N.
8．①
解析 由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，⇒ab>ac.
9．①②③
解析 由a>|b|得－a<b<a，
∴a＋b>0，且a－b>0.∴b－a<0，①错，④对．
a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)[(a－)2＋b2]
∴a3＋b3>0，②错．而a2－b2＝(a－b)(a＋b)>0.③错．
10．3
解析 －>0⇔>0，所以下列三个命题都成立：
①⇒－>0；
②⇒bc－ad>0；
③⇒ab>0.
11．解 方法一 作差法
－＝＝
＝
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.
∴>0，∴>.
方法二 作商法
∵a>b>0，∴>0，>0.
∴＝＝＝1＋>1.
∴>.
12．解 f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx，
①当或
即1＜x＜时，logx＜0，∴f(x)＜g(x)；
②当＝1，即x＝时，logx＝0，即f(x)＝g(x)；
③当或
即0＜x＜1，或x＞时，logx＞0，即f(x)＞g(x)．
综上所述，当1＜x＜时，f(x)＜g(x)；
当x＝时，f(x)＝g(x)；
当0＜x＜1，或x＞时，f(x)＞g(x)．
13．①
解析 方法一 特殊值法．
令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，
则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，
a1b2＋a2b1＝＝，
∵>>，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.
方法二 作差法．
∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0<a1<a2,0<b1<b2，
∴a2＝1－a1>a1，b2＝1－b1>b1，
∴0<a1<，0<b1<.
又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1－b1，
a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)＝a1＋b1－a21－b21，
a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1，
∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝a21＋b21－2a1b1＝(a1－b1)2≥0，
∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.
∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1
＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1)
＝4>0，
∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
∵(a1b1＋a2b2)－＝2a1b1＋－a1－b1
＝b1(2a1－1)－(2a1－1)＝(2a1－1)
＝2>0，
∴a1b1＋a2b2>.
综上可知，最大的数应为a1b1＋a2b2.
14．解 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．
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