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双基限时练(十四)
1．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是( )
A．平均数>中位数>众数
B．平均数<中位数<众数
C．中位数<众数<平均数
D．众数＝中位数＝平均数
解析 由所给数据知，众数为50，中位数为50，平均数为50，∴众数＝中位数＝平均数．
答案 D
2．已知一组数据按从小到大的挨次排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据中位数为5，那么数据中的众数为( )
A．5 B．6
C．4 D．5.5
解析 由中位数是5，得4＋x＝5×2，∴x＝6.此时，这列数为－1,0,4,6,6,15，∴众数为6.
答案 B
3．一组数据的标准差为s，将这组数据中每一个数据都扩大到原来的2倍，所得到的一组数据的方差是( )
A. B．4s2
C．2s2 D．s2
解析 标准差是s，则方差为s2.当这组数据都扩大到原来的2倍时，平均数也扩大到原来的2倍，因此方差扩大到原来4倍，故方差为4s2.
答案 B
4．在样本方差的计算公式s2＝[(x1－20)2＋(x2－20)2＋…＋(x10－20)2]中，数字10和20分别表示样本的( )
A．容量、方差 B．平均数、容量
C．容量、平均数 D．标准差、平均数
解析 由方差s2的定义知，10为样本的容量，20为样本的平均数．
答案 C
5．某人5次上班途中所花时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值是( )
A．1 B．2
B．3 D．4
解析 由题意可得
化简得
解得或
从而|x－y|＝4.
答案 D
6．某高校有甲、乙两个数学爱好班，其中甲班40人，乙班50人，现分析两个班的一次考试成果，算得甲班的平均成果为90分，乙班的平均成果为81分，则该校数学爱好班的平均成果是________分．
解析 平均成果为(90×40＋81×50)×＝85.
答案 85
7．若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是________，标准差是________．
解析 设这40个数据为x1，x2，…，x40，则s2＝
＝－2×(x1＋x2＋…＋x40)
＝×＝＝，
∴s＝.
答案
8．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的同学进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
同学
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
则以上两组数据的方差中较小的一个为s2＝________.
解析 由题中表格数据，得
甲班：甲＝7，
s＝×(12＋02＋02＋12＋02)＝；
乙班：乙＝7，
s＝×(12＋02＋12＋02＋22)＝.
∵s<s，
∴两组数据中方差较小的为s＝.
答案
9．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据．
观测
序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
观测
数据ai
40
41
43
43
44
46
47
48
在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中是这8个数据的平均数)，则输出的S的值是________．
解析 ＝(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48)÷8＝44，该程序框图是求这8个数据的方差，经计算得S＝7.
答案 7
10．高一(2)班有男生27名，女生21名，在一次物理测试中，男生的平均分82分，中位数是75分，女生的平均分是80分，中位数是80分．
(1)求这次测试全班平均分(精确到0.01)；
(2)估量全班成果在80分以下(含80分)的同学至少有多少？
(3)分析男生的平均分与中位数相差较大的主要缘由是什么？
解 (1)由平均数公式得＝×(82×27＋80×21)≈81.13(分)．
(2)∵男生的中位数是75，∴至少有14人得分不超过75分．
又∵女生的中位数是80，∴至少有11人得分不超过80分．
∴全班至少有25人得分低于80分．
(3)男生的平均分与中位数的差别较大，说明男生中两极分化现象严峻，得分高的和低的相差较大．
11．甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)依据计算结果，估量一下两名战士的射击状况．
解 (1)甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，
乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．
(2)解法1：由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，得s＝3.0(环2)，s＝1.2(环2)．
解法2：由方差公式s2＝[(x′＋x′＋…＋x′)－n′2]计算s，s，由于两组数据都在7左右，所以选取a＝7.
x′i甲＝
xi甲－7
1
－1
0
1
－1
－2
2
3
－3
0
x′＝
(xi甲－7)2
1
1
0
1
1
4
4
9
9
0
x′i乙＝
xi乙－7
－1
0
0
1
－1
0
1
0
2
－2
x′＝
(xi乙－7)2
1
0
0
1
1
0
1
0
4
4
∴s＝[(x′＋x′＋…＋x′)－10′]
＝×(1＋1＋0＋1＋1＋4＋4＋9＋9＋0－10×0)
＝×30＝3.0(环2)．
同理s＝1.2(环2)．
(3)甲＝乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．
又s＞s，说明甲战士射击状况波动大．
因此乙战士比甲战士射击状况稳定．
12．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成果状况如图所示．
(1)请填写下表：
平均数
方差
中位数
命中9环及9环
以上的次数
甲
乙
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看(谁的成果更稳定)；
②从平均数和中位数相结合看(谁的成果好些)；
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(谁的成果好些)；
④从折线图上两人射击命中环数的走势看(谁更有潜力)．
解 (1)由图可知，甲打靶的成果为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7，
乙打靶的成果为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
甲的平均数为7，方差为1.2，中位数是7，命中9环及9环以上的次数为1；乙的平均数为7，方差为5.4，中位数是7.5，命中9环及以上次数为3.如下表：
平均数
方差
中位数
命中9环及9环
以上的次数
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
(2)①甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所以甲的成果更稳定．
②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成果好些．
③甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成果较好．
④从折线图上看，在后半部分，乙呈上升趋势，而甲呈下降趋势，故乙更有潜力．
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