高中数学(北师大版)选修2-1教案：第2章-用向量讨论垂直与平行.docx

2.4 用向量争辩垂直与平行
学习目标
1. 把握直线的方向向量及平面的法向量的概念;
2. 把握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．
学习过程
一、课前预备
（预习教材，找出怀疑之处）
复习1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？

复习2：如何判定空间A,B,C三点在一条直线上？

复习3：设a＝，b＝，a·b＝
二、新课导学
学习探究
探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面
问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？

新知：
(1) 点：在空间中，我们取确定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量.
(2) 直线：
① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.
② 对于直线上的任一点,存在实数，使得，此方程称为直线的向量参数方程.
(3) 平面：
① 空间中平面的位置可以由内两个不共线向量确定.对于平面上的任一点,是平面内两个不共线向量，则存在有序实数对,使得.
② 空间中平面的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.
(4) 平面的法向量：假如表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，那 么向量叫做平面的法向量.
试试： .
1.假如都是平面的法向量，则的关系 .
2.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则与的关系是 .
反思：
1. 一个平面的法向量是唯一的吗？

2. 平面的法向量可以是零向量吗？

(5) 向量表示平行、垂直关系：
设直线的方向向量分别为，平面 的法向量分别为，则
① ∥∥
② ∥
③ ∥∥

典型例题
例1 已知两点,求直线AB与坐标平面的交点.

变式：已知三点,点在上运动（O为坐标原点）,求当取得最小值时,点的坐标.

小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.
例2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

变式：在空间直角坐标系中,已知,试求平面ABC的一个法向量.

小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.
动手试试
练1. 设分别是直线的方向向量，推断直线的位置关系：
(1) ；
(2) .

练2. 设分别是平面的法向量，推断平面的位置关系：
(1) ；
(2) .

三、总结提升
学习小结
1. 空间点，直线和平面的向量表示方法
2. 平面的法向量求法和性质.
学问拓展：
求平面的法向量步骤：
(1)设平面的法向量为；
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；
(3)依据法向量的定义建立关于的方程组；
(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
当堂检测：
1. 设分别是直线的方向向量，则直线的位置关系是 .
2. 设分别是平面的法向量，则平面的位置关系是 .
3. 已知，下列说法错误的是（ ）
A. 若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
4.下列说法正确的是（ ）
A.平面的法向量是唯一确定的
B.一条直线的方向向量是唯一确定的
C.平面法向量和直线的方向向量确定不是零向量
D.若是直线的方向向量，，则
5. 已知，能做平面的法向量的是（ ）
A. B. C. D.
课后作业
1. 在正方体中，求证：是平面的一个法向量.

2．已知，求平面的一个法向量.