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§2.3 等差数列的前n项和(二)
课时目标
1．娴熟把握等差数列前n项和的性质，并能机敏运用．
2．把握等差数列前n项和的最值问题．
3．理解an与Sn的关系，能依据Sn求an.
1．前n项和Sn与an之间的关系
对任意数列{an}，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an＝
2．等差数列前n项和公式
Sn＝＝na1＋d.
3．等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
(2)由于Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．
一个有用的结论：
若Sn＝an2＋bn，则数列{an}是等差数列．反之亦然．
一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于( )
A．n B．n2
C．2n＋1 D．2n－1
答案 D
2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
答案 B
解析 等差数列前n项和Sn的形式为：Sn＝an2＋bn，
∴λ＝－1.
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 由an＝，∴an＝2n－10.
由5<2k－10<8，得7.5<k<9，∴k＝8.
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 方法一 ＝＝⇒a1＝2d，
＝＝＝.
方法二 由＝，得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9照旧是等差数列，公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3⇒S9＝6S3，
S12－S9＝S3＋3S3＝4S3⇒S12＝10S3，所以＝.
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A．1 B．－1
C．2 D.
答案 A
解析 由等差数列的性质，＝＝＝，
∴＝＝×＝1.
6．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是( )
A．d<0 B．a7＝0
C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值
答案 C
解析 由S5<S6，得a6＝S6－S5>0.又S6＝S7⇒a7＝0，所以d<0.
由S7>S8⇒a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9
＝2(a7＋a8)<0即S9<S5.
二、填空题
7．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－n，(n∈N*)，则通项an＝________.
答案 2n－2
8．在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，则前n项和Sn的最大值是________．
答案 169
解析 方法一 利用前n项和公式和二次函数性质．
由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，解得d＝－2，
所以Sn＝25n＋(n－1)×(－2)
＝－(n－13)2＋169，
由二次函数性质可知，当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二 先求出d＝－2，由于a1＝25>0，
由 得
所以当n＝13时，Sn有最大值．
S13＝25×13＋×(－2)＝169.
因此Sn的最大值为169.
方法三 由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，
故a13＋a14＝0.由方法一知d＝－2<0，
又由于a1>0，所以a13>0，a14<0，
故当n＝13时，Sn有最大值．
S13＝25×13＋×(－2)＝169.
因此Sn的最大值为169.
9．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最终三项和为78，全部项和为155，则项数n＝________.
答案 10
解析 由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得
(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31.
由Sn＝＝＝155，得n＝10.
10．等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列在n＝k时，前n项和Sn取到最小值，则k的值是________．
答案 10或11
解析 方法一 由S9＝S12，得d＝－a1，由，得
，
解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，
∴该数列前10项或前11项的和最小．
方法二 由S9＝S12，得d＝－a1，
由Sn＝na1＋d＝n2＋n，
得Sn＝·n2＋·n＝－2＋a1 (a1<0)，
由二次函数性质可知n＝＝10.5时，Sn最小．
但n∈N*，故n＝10或11时Sn取得最小值．
三、解答题
11．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
解 (1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得
可解得
所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n.
(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.
由于Sn＝－(n－5)2＋25，
所以当n＝5时，Sn取得最大值．
12．已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解 由S2＝16，S4＝24，得
即 解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n (n∈N*)．
(1)当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
(2)当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，
故Tn＝
力气提升
13．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2 (n∈N*)，则当n≥2时，下列不等式成立的是( )
A．Sn>na1>nan B．Sn>nan>na1
C．na1>Sn>nan D．nan>Sn>na1
答案 C
解析 方法一 由an＝，
解得an＝5－4n.
∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n，
∴nan＝5n－4n2，
∵na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)>0.
Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n>0.
∴na1>Sn>nan.
方法二 ∵an＝5－4n，
∴当n＝2时，Sn＝－2，
na1＝2，nan＝－6，
∴na1>Sn>nan.
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
解 (1)依据题意，有： 整理得：
解之得：－<d<－3.
(2)∵d<0，
而S13＝＝13a7<0，∴a7<0.
又S12＝＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，
∴a6>0.
∴数列{an}的前6项和S6最大．
1．公式an＝Sn－Sn－1并非对全部的n∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种状况分别计算，然后验证两种状况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．
2．求等差数列前n项和的最值
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要留意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
3．求等差数列{an}前n项的确定值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．
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