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1．下列说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线
解析：选C.若f′(x0)存在，则点(x0，f(x0))处必有切线；若f′(x0)不存在，在点(x0，f(x0))处也可能有切线(留意切线是割线的极限位置)，但切线的斜率确定不存在，故只有C正确．
2．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C．(，) D．(，)
解析：选D.k＝ ＝
＝ (2x＋Δx)＝2x.
∵倾斜角为，∴斜率为1.
∴2x＝1，得x＝，故选D.
3．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3
C．9 D．15
解析：选C.由于y′＝ ＝ (Δx2＋3xΔx＋3x2)＝3x2，所以切线的斜率k＝f′(1)＝3，又由于切点为P(1,12)，故切线方程为3x－y＋9＝0，令x＝0，得y＝9.
4．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．2 B.
C．－ D．－2
解析：选D.∵y＝，∴y′＝ ＝－，
∴y′|x＝3＝－，由题意可知－a＝2，解得a＝－2，故选D.
5．(2021·无锡高二检测)曲线y＝x3＋ax＋1的一条切线方程为y＝2x＋1，则实数a＝( )
A．1 B．3
C．2 D．4
解析：选C.设切点为(x0，y0)，
则f′(x0)＝
＝ (Δx2＋3x0Δx＋3x＋a)
＝3x＋a，
∴3x＋a＝2.①
又∵切点既在曲线上，又在切线上，
∴x＋ax0＋1＝2x0＋1.②
由①②得
6．(2021·沈阳高二检测)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.
解析：f(5)＋f′(5)＝(－5＋8)＋(－1)＝2.
答案：2
7．(2021·汕头调研)已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
解析： ＝ (a·Δx＋2a)＝2a＝2，
∴a＝1，又3＝a×12＋b，∴b＝2，即＝2.
答案：2
8．(2021·潍坊质检)曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为__________．
解析：f′(－2)＝
＝ ＝ ＝－，
故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x＋2)，
整理得x＋2y＋4＝0.
答案：x＋2y＋4＝0
9．已知曲线f(x)＝x2＋1与g(x)＝x3＋1在x＝x0处的切线相互垂直，求x0的值．
解：∵f′(x)＝
＝ (Δx＋2x)＝2x，
g′(x)＝
＝ (Δx2＋3xΔx＋3x2)＝3x2，
∴k1＝2x0，k2＝3x，∴k1k2＝－1，
即6x＝－1，解得x0＝－.
10．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q.
(1)求曲线在点P、Q处的切线的斜率；
(2)求曲线在P、Q处的切线方程．
解：将点P(2，－1)代入y＝，得t＝1，∴y＝.
y′＝
＝
＝
＝ ＝.
(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝2＝＝1；曲线在点Q处的切线斜率为y′|x＝－1＝.
(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0，曲线在点Q处的切线方程为y－＝[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.
1．设P为曲线C：y＝f(x)＝x2＋2x＋3上一点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角θ的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设点P(x0，y0)，则
f′(x0)＝
＝
＝
＝ (2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.
结合导数的几何意义可知0≤2x0＋2≤1，
解得－1≤x0≤－，故选A.
2．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x
C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3
解析：选A.由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，
得f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8，
即2f(x)－f(2－x)＝x2＋4x－4，
∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，
∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，故选A.
3．已知曲线y＝f(x)＝上一点P(1,2)，求点P处切线的倾斜角和切线方程．
解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝－2，
∴＝
＝
＝，
∴过点P的切线的斜率
k＝ ＝
＝＝1，
∴过点P的切线的倾斜角等于45°.
由点斜式求得过点P的切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
4．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求a的值及切点坐标．
解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，则y＝x3－x2＋1的导数
y′＝
＝3x2－2x.
由题意知直线l的斜率k＝1，即3x－2x0＝1，
解得x0＝－或x0＝1.
因此切点的坐标为或(1,1)．
当切点为时，
＝－＋a，a＝；
当切点为(1,1)时，1＝1＋a，a＝0(舍去)．
所以a的值为，切点坐标为.
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