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双基限时练(十)
一、选择题
1．在空间中，下列命题正确的是( )
A．若a∥α，b∥a，则b∥α
B．若a∥α，b∥α，aβ，bβ，则α∥β
C．若α∥β，b∥α，则b∥β
D．若α∥β，aα，则a∥β
解析 对于A，当a∥α，b∥a时，b可能在α内，故A不正确；对于B，a，b有可能平行，此时α∥\β，故B不正确；对于C，α∥β，b∥α，此时b有可能在平面β内，故C不正确．
答案 D
2．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是( )
A．相互平行 B．交于一点
C．相互异面 D．不能确定
解析 由面面平行的性质定理，可知答案为A.
答案 A
3．给出下列命题：
①一条直线与另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的全部直线平行；③经过两条异面直线a，b外一点，必有一个平面与a，b都平行；④经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面平行于另一条直线．
其中正确的命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 ①由于两条平行直线可确定一个平面，其中的一条直线可能在另一条直线所在的平面内，故①不对；对于②，一条直线和一个平面平行，它和这个平面内的直线有的平行，有的异面，故②不对；③中，经过两条异面直线外一点P，可作a′∥a，b′∥b，a′∩b′＝P，可确定一个平面，但有可能aα或bα，故③不正确；④明显正确，故选B.
答案 B
4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱AA1，BB1，CC1，DD1上的点，且E，F，G，H四点共面，则四边形EFGH肯定是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．不是菱形 D．不肯定是平行四边形
解析 据两平面平行的性质定理，可知EFGH肯定为平行四边形．
答案 A
5．过长方体ABCD—A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )
A．4条 B．6条
C．8条 D．12条
解析 与面BDD1B1平行的平面有EFGH，MNPQ，其中E，F，G，H，M，N，P，Q分别为棱的中点，每一个平面由中点构成的线有6条，据面面平行的性质定理，可知与面BDD1B1平行的线共有12条．
答案 D
6．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与面ABB1A1平行的直线的条数有( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析 画出图形，结合图形作出推断．如图所示，E，F，G，H分别是所在棱的中点，明显EF，EH，HG，GF，EG，FH都与平面ABB1A1平行．
答案 C
二、填空题
7．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别在AB1，BC1上，且AM＝BN，那么①AC∥MN；②MN∥面ABCD；③MN∥面A1B1C1D1.其中正确的是________．
解析
如图，过M，N分别作MG∥BB1，NH∥BB1，分别交AB，BC于G，H两点．
∴＝＝，
又＝＝，又ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴AB1＝BC1，又AM＝BN，
∴MG＝NH，AG＝BH.
故当G，H不是AB，BC的中点时，GH AC，
故①不正确，
由MG綊NH，知MN∥GH，
∴MN∥面ABCD，同理可得MN∥面A1B1C1D1.
答案 ②③
8．如图a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD交α于E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.
解析 由相像比＝，∴EG＝＝＝.
答案
9．如图，在四周体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的是________．
①AC∥面PQMN；②AC＝BD；③BD∥面PQMN；④AC⊥BD
解析 由PQMN为正方形，知PQ∥MN，
∴PQ∥面ADC.又PQ面ABC，
面ABC∩面ADC＝AC，∴PQ∥AC.
∴AC∥面PQMN，同理BD∥面PQMN.
故①③正确，又AC∥MN，BD∥MQ，MN⊥MQ，
∴AC⊥BD，故④正确．
∴正确的有①③④.
答案 ①③④
三、解答题
10．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点．推断直线A1B与平面ADC1的关系．
解 A1B∥面ADC1，证明如下：
证法1：如图①，连接A1C交AC1于F，
则F为A1C的中点．连接FD.
∵D是BC的中点，
∴DF∥A1B.
又DF平面ADC1，A1B平面ADC1，
∴A1B∥平面ADC1.
证法2：如图②，取C1B1的中点D1，
则AD∥A1D1，C1D∥D1B，
∴AD∥平面A1D1B，
且C1D∥平面A1D1B.
又AD∩C1D＝D，
∴平面ADC1∥平面A1D1B.
∵A1B平面A1D1B，
∴A1B∥平面ADC1.
11．如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，DC＝2，E，E1分别为AD，AA1的中点，F为AB的中点．
求证：EE1∥面FCC1.
证明 ∵ABCD—A1B1C1D1为直棱柱，
∴DD1∥CC1.
又CC1面ADD1A1，DD1面ADD1A1，
∴CC1∥面ADD1A1.
又ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝4，DC＝2，
F为AB的中点，
∴AF∥DC，且AF＝DC.
故四边形AFCD为平行四边形，故FC∥AD.
又AD面ADD1A1，FC面AD1，
∴FC∥面ADD1A1.
又FC∩CC1＝C，
∴面FCC1∥面ADD1A1.
又EE1面ADD1A1，
∴EE1∥面FCC1.
12．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，E为线段PD上的点，F为线段AB上的点，且＝，试推断EF与平面PBC的关系，并证明．
证明 EF∥平面PBC.证明如下：
如图作FG∥BC交CD于点G，连接EG，
则＝.
∵＝，∴＝.
∴PC∥EG.
又FG∥BC，BC∩PC＝C，FG∩GE＝G，
∴平面PBC∥平面EFG.又EF⃘平面PBC，
∴EF∥平面PBC.
思 维 探 究
13.
在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)当BC1∥平面AB1D1时，
求证：平面BC1D∥平面AB1D1.
解 (1)＝1.证明如下：如图，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于O，连接OD1.由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，∴点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.
又∵OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1，
∴当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)证明：由(1)知，当BC1∥平面AB1D1时，点D1是线段A1C1的中点，则有AD∥D1C1，且AD＝D1C1，
∴四边形ADC1D1是平行四边形．∴AD1∥DC1.
又∵DC1平面AB1D1，AD1平面AB1D1，
∴DC1∥平面AB1D1.
又∵BC1∥平面AB1D1，
BC1平面BC1D，DC1平面BC1D，DC1∩BC1＝C1，
∴平面BC1D∥平面AB1D1.
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