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双基限时练(十)
一、选择题
1.在空间中,下列命题正确的是( )
A.若a∥α,b∥a,则b∥α
B.若a∥α,b∥α,aβ,bβ,则α∥β
C.若α∥β,b∥α,则b∥β
D.若α∥β,aα,则a∥β
解析 对于A,当a∥α,b∥a时,b可能在α内,故A不正确;对于B,a,b有可能平行,此时α∥\β,故B不正确;对于C,α∥β,b∥α,此时b有可能在平面β内,故C不正确.
答案 D
2.平面α∥平面β,平面γ∥平面δ,且α∩γ=a,α∩δ=b,β∩γ=c,β∩δ=d,则交线a,b,c,d的位置关系是( )
A.相互平行 B.交于一点
C.相互异面 D.不能确定
解析 由面面平行的性质定理,可知答案为A.
答案 A
3.给出下列命题:
①一条直线与另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面平行;②一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的全部直线平行;③经过两条异面直线a,b外一点,必有一个平面与a,b都平行;④经过两条异面直线中的一条,有且只有一个平面平行于另一条直线.
其中正确的命题有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析 ①由于两条平行直线可确定一个平面,其中的一条直线可能在另一条直线所在的平面内,故①不对;对于②,一条直线和一个平面平行,它和这个平面内的直线有的平行,有的异面,故②不对;③中,经过两条异面直线外一点P,可作a′∥a,b′∥b,a′∩b′=P,可确定一个平面,但有可能aα或bα,故③不正确;④明显正确,故选B.
答案 B
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱AA1,BB1,CC1,DD1上的点,且E,F,G,H四点共面,则四边形EFGH肯定是( )
A.平行四边形 B.菱形
C.不是菱形 D.不肯定是平行四边形
解析 据两平面平行的性质定理,可知EFGH肯定为平行四边形.
答案 A
5.过长方体ABCD—A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )
A.4条 B.6条
C.8条 D.12条
解析 与面BDD1B1平行的平面有EFGH,MNPQ,其中E,F,G,H,M,N,P,Q分别为棱的中点,每一个平面由中点构成的线有6条,据面面平行的性质定理,可知与面BDD1B1平行的线共有12条.
答案 D
6.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与面ABB1A1平行的直线的条数有( )
A.4 B.5
C.6 D.7
解析 画出图形,结合图形作出推断.如图所示,E,F,G,H分别是所在棱的中点,明显EF,EH,HG,GF,EG,FH都与平面ABB1A1平行.
答案 C
二、填空题
7.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N分别在AB1,BC1上,且AM=BN,那么①AC∥MN;②MN∥面ABCD;③MN∥面A1B1C1D1.其中正确的是________.
解析
如图,过M,N分别作MG∥BB1,NH∥BB1,分别交AB,BC于G,H两点.
∴==,
又==,又ABCD—A1B1C1D1为正方体,∴AB1=BC1,又AM=BN,
∴MG=NH,AG=BH.
故当G,H不是AB,BC的中点时,GH AC,
故①不正确,
由MG綊NH,知MN∥GH,
∴MN∥面ABCD,同理可得MN∥面A1B1C1D1.
答案 ②③
8.如图a∥α,A是α的另一侧的点,B,C,D∈a,线段AB,AC,AD交α于E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=________.
解析 由相像比=,∴EG===.
答案
9.如图,在四周体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,正确的是________.
①AC∥面PQMN;②AC=BD;③BD∥面PQMN;④AC⊥BD
解析 由PQMN为正方形,知PQ∥MN,
∴PQ∥面ADC.又PQ面ABC,
面ABC∩面ADC=AC,∴PQ∥AC.
∴AC∥面PQMN,同理BD∥面PQMN.
故①③正确,又AC∥MN,BD∥MQ,MN⊥MQ,
∴AC⊥BD,故④正确.
∴正确的有①③④.
答案 ①③④
三、解答题
10.如图,正三棱柱ABC—A1B1C1中,D是BC的中点.推断直线A1B与平面ADC1的关系.
解 A1B∥面ADC1,证明如下:
证法1:如图①,连接A1C交AC1于F,
则F为A1C的中点.连接FD.
∵D是BC的中点,
∴DF∥A1B.
又DF平面ADC1,A1B平面ADC1,
∴A1B∥平面ADC1.
证法2:如图②,取C1B1的中点D1,
则AD∥A1D1,C1D∥D1B,
∴AD∥平面A1D1B,
且C1D∥平面A1D1B.
又AD∩C1D=D,
∴平面ADC1∥平面A1D1B.
∵A1B平面A1D1B,
∴A1B∥平面ADC1.
11.如图,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,DC=2,E,E1分别为AD,AA1的中点,F为AB的中点.
求证:EE1∥面FCC1.
证明 ∵ABCD—A1B1C1D1为直棱柱,
∴DD1∥CC1.
又CC1面ADD1A1,DD1面ADD1A1,
∴CC1∥面ADD1A1.
又ABCD为梯形,AB∥CD,AB=4,DC=2,
F为AB的中点,
∴AF∥DC,且AF=DC.
故四边形AFCD为平行四边形,故FC∥AD.
又AD面ADD1A1,FC面AD1,
∴FC∥面ADD1A1.
又FC∩CC1=C,
∴面FCC1∥面ADD1A1.
又EE1面ADD1A1,
∴EE1∥面FCC1.
12.在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,E为线段PD上的点,F为线段AB上的点,且=,试推断EF与平面PBC的关系,并证明.
证明 EF∥平面PBC.证明如下:
如图作FG∥BC交CD于点G,连接EG,
则=.
∵=,∴=.
∴PC∥EG.
又FG∥BC,BC∩PC=C,FG∩GE=G,
∴平面PBC∥平面EFG.又EF⃘平面PBC,
∴EF∥平面PBC.
思 维 探 究
13.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D为AC的中点,点D1是A1C1上的一点.
(1)当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?
(2)当BC1∥平面AB1D1时,
求证:平面BC1D∥平面AB1D1.
解 (1)=1.证明如下:如图,此时D1为线段A1C1的中点,连接A1B交AB1于O,连接OD1.由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形,∴点O为A1B的中点.
在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,
∴OD1∥BC1.
又∵OD1平面AB1D1,BC1平面AB1D1,
∴BC1∥平面AB1D1,
∴当=1时,BC1∥平面AB1D1.
(2)证明:由(1)知,当BC1∥平面AB1D1时,点D1是线段A1C1的中点,则有AD∥D1C1,且AD=D1C1,
∴四边形ADC1D1是平行四边形.∴AD1∥DC1.
又∵DC1平面AB1D1,AD1平面AB1D1,
∴DC1∥平面AB1D1.
又∵BC1∥平面AB1D1,
BC1平面BC1D,DC1平面BC1D,DC1∩BC1=C1,
∴平面BC1D∥平面AB1D1.
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