数列专项训练.doc

数列专项训练
1．已知数列满足，数列满足
（1）若为等比数列，求的前n项的和；
（2）若，求数列的通项公式；
（3）若，求证：
2．已知数列满足，，令.
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的通项公式．
3．设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且恰好是等比数列的前三项．
（1）求数列、的通项公式； （2）记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
4．已知等差数列，为其前项和，
（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和
5．已知数列是公差不为的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．
6．设数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的通项公式.
7．已知等差数列的公差，其前n项和为,,；
（1）求出数列的通项公式及前n项和公式
（2）若数列满足，求数列的通项公式
8．等差数列中，，公差且成等比数列，前项的和为.
（1）求及;（2）设，，求.
9．设数列是首项为，公差为的等差数列，且是等比数列的前三项.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.
10．己知等比数列所有项均为正数，首项，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；（2）数列的前n项和为，若S6=63，求实数的值．
11．已知数列的前项和为，．
（Ⅰ）求； （Ⅱ）求证：数列是等比数列．
12．已知等差数列{an}满足a3=5，a5﹣2a2=3，又等比数列{bn}中，b1=3且公比q=3．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
13．在数列中，．
（1）求数列的通项；（2）若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围.
14．设数列的前项和，数列满足．
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．
15．已知数列的前项和为，且2.
（1）求数列的通项公式；（2）若求数列的前项和.
16．设等差数列{ }的前n项和为Sn，且S4=4S2，．
（1）求数列{}的通项公式；（2）设数列{ }满足，求{}的前n项和Tn；
（3）是否存在实数K，使得Tn恒成立.若有，求出K的最大值，若没有，说明理由.
17．在等差数列{an}中，为其前n项和，且
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
18．已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，满足关系式(1)求数列的通项公式；(2)设数列的通项公式是，前项和为，求证：对于任意的正整数，总有.

参考答案
1．解析：（1）
当时，则 当时，
（2）
当时，
当时，

（3）①，②
①－②得
=
=
＞－3． .(16分)
2．试题解析：解：(Ⅰ) ，
，即，是等差数列． 6分
(Ⅱ)，， ，．
3．试题解析：（1），当时，，
，，
恒成立，，
当时，是公差的等差数列. 3分
构成等比数列，，，
解得， 5分当时，，
由条件可知，， 6分
数列的通项公式为. 8分，
，数列的通项公式为 9分
（2）， 对恒成立， 即对恒成立， 11分
令，，
当时，，当时， ，．
4．解：（1）由公差
（2），
.
5．（1）设数列的公差为,由和成等比数列,得
, 解得,或
当时,,与成等比数列矛盾,舍去.
,
即数列的通项公式 6分
（2）=

6．试题解析：（1）因为，
则，所以当时，，
整理得，由，令，得，解得.
所以是首项为1，公比为2的等比数列，可得（6分）
（2）因为，由，得，
由累加得
，当时也满足，所以.（13分）
7．试题解析：（1）由已知，得：,又,解得：
∴
（2）由已知条件并结合（1），得：
叠加以上各式，得 ∴ 12分
8．试题解析：（1）有题意可得又因为 2分

（2） 6分

9．试题解析：解：（1）由题意可知：.
因为 成等比数列，所以 .
因，所以 . 若，则，与成等比数列矛盾.
所以 .所以 . 所以 .
（2）因为 ，， 所以 等比数列的首项为，公比为.
所以 .
10．试题解析：（1）设数列{an}的公比为q＞0，
由条件，q3，3q2，q4成等差数列，∴6q2=q3+q4解得q=-3，或q=2，
∵q＞0，∴取q=2．∴数列{an}的通项公式为an＝1×2n−1＝2n−1．所以，
（2）记，则 若不符合条件；
若， 则，数列为等比数列，首项为，公比为2，
此时 又， S6=63，所以
11．试题解析：（1）当时，，解得，当时，，解得
由于当时，，两式相减得，整理得，所以数列为等比数列.
12．试题解析：（1）设等差数列的公差为，则有题意得，
即，；是以为首项，公比为3的等比数列，；（2）由（1）得，
则
.
13．试题分析：（1）由题意知数列各项不为0，
由3anan﹣1+an﹣an﹣1=0，得3+﹣=0，所以，
所以数列{}为等差数列，首项为1，公差为3，则=1+（n﹣1）•3=3n﹣2，所以an=；
（2）若λan﹣an+1≤0恒成立，即λ≤恒成立，整理得：λ≤=1﹣，
设f（x）=1﹣，可知f（x）在x∈（﹣，+∞）上单调递增，
所以当n=1时，[1﹣]min=，所以λ的取值范围为λ∈（﹣∞，]．
14．试题解析：（1）时，， ，∴
∴，∴数列的通项公式为：．
(2)
．
15．试题解析：解：（1）由2. 2分
∴（）又时，适合上式。
8分
10分

16． 试题解析：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得：，解得a1=1，d=2．
∴an=2n﹣1，（2）由已知，当n=1时，，
当n≥2时，，显然，n=1时符合．
∴，n∈N*，由（1）知，an=2n﹣1，n∈N*．∴，n∈N*．
又，∴，
两式相减得：
所以．
（3），所以单调递增，
所以，所以.
17．试题解析：(Ⅰ)由已知条件得 解得∴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，∴
18．试题解析：（1）由已知得故
即故数列为等比数列，且又当时，
所以 而亦适合上式
（2）
所以.