指对幂函数-教案.doc

(完整word)指对幂函数-教案

燕园思达教育教案

[2012]

[高中数学]

[高一-1人]

User

指数函数
指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象

定义域
R
值域
（0，＋∞)
性质
过定点（0,1）
值域
x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时,y＞1
x＜0时，y＞1.
当x＞0时，0＜y＜1
单调性
在（－∞，＋∞）上是增函数
在（－∞,＋∞)上是减函数
a变化对图象的影响
在第一象限内，从逆时针方向看图象，a逐渐增大；在第二象限内,从逆时针方向看图象，a逐渐减小.
常用公式
①aras＝ar＋s（a＞0，r、s∈Q）
②（ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)
③(ab)r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q)．
指数函数

一个关系
分数指数幂与根式的关系
根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
两个防范
(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．
（2）换元时注意换元后“新元"的范围．
三个关键点
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象,应抓住三个关键点：(1,a），（0，1），.

双基自测
1．(2011·山东）若点（a，9）在函数y＝3x的图象上，则tan的值为（　　）．
A．0 B.
C．1 D.
解析　由题意有3a＝9,则a＝2，∴tan ＝tan ＝。
答案　D
2．（2012·郴州五校联考）函数f(x）＝2|x－1|的图象是（　　)．

解析　f（x）＝故选B.
答案　B
3．若函数f（x）＝，则该函数在（－∞，＋∞）上是（　　)．
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
解析　设y＝f(x),t＝2x＋1，
则y＝，t＝2x＋1，x∈(－∞,＋∞）
t＝2x＋1在（－∞，＋∞）上递增,值域为（1，＋∞）．
因此y＝在(1,＋∞）上递减，值域为(0，1)．
答案　A
4．(2011·天津)已知a＝5,b＝5,c＝，则(　　）．
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞a＞b
解析　c＝＝5＝5，log23.4＞log22＝1，log43。6＜log44＝1，log3＞log33＝1，
又log23.4＞log2＞log3 ,∴log2 3。4＞log3 ＞log4 3。6
又∵y＝5x是增函数,∴a＞c＞b。
答案　C
5．(2012·天津一中月考)已知a＋a＝3,则a＋a－1＝______；a2＋a－2＝________.
解析　由已知条件(a＋a）2＝9。整理得：a＋a－1＝7
又（a＋a－1)2＝49,因此a2＋a－2＝47。
答案　7　47　　
考向一　指数函数的性质
【例2】►已知函数f(x)＝·x3（a＞0且a≠1）．
(1）求函数f（x）的定义域；
（2)讨论函数f(x）的奇偶性；
(3)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．
[审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决．
解　（1）由于ax－1≠0，且ax≠1，所以x≠0.
∴函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0｝．
（2）对于定义域内任意x，有
f(－x)＝(－x)3
＝（－x）3＝（－x）3
＝x3＝f（x)，
∴f(x)是偶函数．
(3）当a＞1时，f(x)＝.
对x＞0,由指数函数的性质知ax＞1,
∴ax－1＞0，ax＋1＞0。
又x＞0时，x3＞0，∴＞0，
即当x＞0时，f（x)＞0.
又由(2)知f（x）为偶函数，即f(－x)＝f(x）,
则当x＜0时,－x＞0,有f(－x)＝f(x)＞0成立．
综上可知，当a＞1时，f（x)＞0在定义域上恒成立．
当0＜a＜1时,f（x）＝。
当x＞0时,1＞ax＞0,ax＋1＞0，
ax－1＜0，x3＞0，此时f(x)＜0，不满足题意；
当x＜0时，－x＞0，f（－x)＝f（x)＜0，也不满足题意．
综上可知，所求a的取值范围是a＞1.
（1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f（－x)±f(x)，来判断．
（2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法．
【训练2】 设f(x）＝＋是定义在R上的函数．
(1)f(x）可能是奇函数吗?
（2)若f(x)是偶函数,试研究其在（0，＋∞）的单调性．
解　(1)假设f（x)是奇函数，由于定义域为R，
∴f（－x）＝－f（x)，即＋＝－，
整理得(ex＋e－x）＝0，
即a＋＝0，即a2＋1＝0显然无解．
∴f（x）不可能是奇函数．
(2）因为f（x）是偶函数，所以f(－x）＝f(x),
即＋＝＋,
整理得（ex－e－x)＝0，
又∵对任意x∈R都成立,∴有a－＝0，得a＝±1.
当a＝1时,f（x）＝e－x＋ex,以下讨论其单调性，
任取x1，x2∈（0，＋∞）且x1＜x2，
则f(x1)－f（x2）＝…计算过程很简单＜0,即f（x1)＜f（x2),
∴当a＝1时，函数f（x）＝＋在（0,＋∞)为增函数,
同理，当a＝－1时,f(x)在（0，＋∞）为减函数．
考向二　指数函数图象的应用
【例3】►(2009·山东)函数y＝的图象大致为（　　)．

［审题视点］ 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性．
解析　y＝(化简可得)＝1＋，当x＞0时，e2x－1＞0且随着x的增大而增大，故y＝1＋＞1且随着x的增大而减小,即函数y在（0，＋∞）上恒大于1且单调递减，又函数y是奇函数，故选A.
答案　A
利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数y＝，y＝，y＝lg（10x－1)等．
【训练3】 已知方程10x＝10－x,lg x＋x＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是________．

解析　作函数y＝f（x)＝10x，y＝g(x)＝lg x，y＝h(x)＝10－x的图象如图所示，由于y＝f（x）与y＝g(x)互为反函数，∴它们的图象是关于直线y＝x对称的．又直线y＝h（x)与y＝x垂直，∴y＝f（x)与y＝h（x)的交点A和y＝g（x）与y＝h（x）的交点B是关于直线y＝x对称的．而y＝x与y＝h(x）的交点为（5，5）．又方程10x＝10－x的解α为A点横坐标，同理，β为B点横坐标．∴＝5，即α＋β＝10.
答案　10
基础梳理
2．对数函数的图象与性质
y＝logax
a＞1
0＜a＜1
图象

性质
定义域：(0，＋∞)
值域:R
过点(1，0)
当x＞1时,y＞0
当0＜x＜1，y＜0
当x＞1时，y＜0
当0＜x＜1时，y＞0
是(0,＋∞）上的增函数
是（0，＋∞）上的减函数
a变化对图象的影响
a＞1，从逆时针方向看图象，a逐渐减小；0＜a＜1，从逆时针方向
看图象，a逐渐增大。
常用公式
①换底公式：logbN＝(a,b均大于零且不等于1）；
②倒数公式：logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad。
如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么
③loga(MN）＝logaM＋logaN；④loga＝logaM－logaN；
⑤logaMn＝nlogaM(n∈R）； ⑥log amMn＝logaM。

一种思想
对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．
两个防范
解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2）注意对数底数的取值范围．
三个关键点
画对数函数的图象应抓住三个关键点:（a，1)，(1,0），.
四种方法
对数值的大小比较方法
(1)化同底后利用函数的单调性．（2）作差或作商法．（3）利用中间量（0或1)．
(4)化同真数后利用图象比较．

双基自测
1．(2010·四川）2 log510＋log50。25＝(　　）．

A．0 B．1 C．2 D．4
解析　原式＝log5100＋log50。25＝log525＝2.
答案　C
2．（人教A版教材习题改编）已知a＝log0。70.8,b＝log1。10。9，c＝1.10。9，则a，b，c的大小关系是(　　）．
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
解析　将三个数都和中间量1相比较:0＜a＝log0.70.8＜1，b＝log1。10。9＜0，c＝1。10.9＞1。
答案　C
3．(2012·黄冈中学月考)函数f（x)＝log2(3x＋1）的值域为(　　)．
A．(0，＋∞) B．［0，＋∞)
C．（1，＋∞） D．[1，＋∞）
解析　设y＝f(x），t＝3x＋1。
则y＝log2t，t＝3x＋1,x∈R.
由y＝log2t，t>1知函数f(x）的值域为(0，＋∞)．
答案　A
4．(2012·汕尾模拟)下列区间中，函数f（x）＝｜ln(2－x)|在其上为增函数的是
(　　）．
A．（－∞,1］ B。
C。 D．[1，2）
解析　法一　当2－x≥1，即x≤1时,f(x)＝｜ln（2－x)｜＝ln(2－x)，此时函数f（x）在（－∞，1］上单调递减．当0＜2－x≤1，即1≤x＜2时，f（x)＝｜ln（2－x）|＝－ln（2－x),此时函数f(x）在［1,2）上单调递增，故选D。
法二　f(x)＝|ln(2－x）|的图象如图所示．

由图象可得，函数f(x)在区间［1，2）上为增函数，故选D.
答案　D
5．若loga〉1，则a的取值范围是________．
答案　　

考向一　对数式的化简与求值
【例1】►求值：（1）;(2)(lg 5）2＋lg 50·lg 2；
（3）lg －lg ＋lg 。
［审题视点] 运用对数运算法则及换底公式．
解　(1)原式＝＝。
(2）原式＝(lg 5)2＋lg（10×5）lg
＝（lg 5）2＋(1＋lg 5)(1－lg 5)＝（lg 5)2＋1－(lg 5）2＝1.
(3)法一　原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋（2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝(lg 2＋lg 5）＝lg 10＝.
法二　原式＝lg－lg 4＋lg（7)＝lg＝
lg＝.
对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化．
【训练1】 （1）若2a＝5b＝10，求＋的值．
(2)若xlog34＝1，求4x＋4－x的值．
解　(1）由已知a＝log210,b＝log510,
则＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
(2)由已知x＝log43，
则4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋＝。
考向二　对数值的大小比较
【例2】►已知f（x）是定义在（－∞,＋∞）上的偶函数,且在（－∞，0]上是增函数,设a＝f(log47)，b＝f(log3），c＝f(0。2－0。6)，则a，b，c的大小关系是(　　)．
A．c＜a＜b B．c＜b＜a
C．b＜c＜a D．a＜b＜c
[审题视点] 利用函数单调性或插入中间值比较大小．
解析　log3＝－log23＝－log49，b＝f(log3)＝f(－log49)＝f（log49），log47＜log49，0。2－0.6＝－＝＞＝2＞log49，
又f（x)是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数,故f(x）在[0，＋∞）上是单调递减的，
∴f（0。2－0。6)＜f(log3）＜f（log47）,即c＜b＜a,故选B。
答案　B
一般是同底问题利用单调性处理,不同底问题的处理,一般是利用中间值来比较大小,同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决．

【训练2】 (2010·全国）设a＝log32，b＝ln 2，c＝5,则(　　)．
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
解析　法一　a＝log32＝,b＝ln 2＝，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c＝5＝,而＞2＝log24＞log23，所以c＜a，综上c＜a＜b,故选C.
法二　a＝log32＝，b＝ln 2＝，1＜log2e＜log23＜2,∴＜＜＜1;c＝5＝＜＝，所以c＜a＜b，故选C.
答案　C
考向三　对数函数性质的应用
【例3】►已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a,使函数f(x)在[0，1］上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围．
［审题视点] a＞0且a≠1，问题等价于在［0，1］上恒有.
解　∵a＞0，且a≠1，
∴u＝2－ax在［0,1]上是关于x的减函数．
又f（x）＝loga(2－ax）在[0，1］上是关于x的减函数，
∴函数y＝logau是关于u的增函数，且对x∈[0,1］时,u＝2－ax恒为正数．
其充要条件是，即1＜a＜2.
∴a的取值范围是（1,2)．
研究函数问题，首先考虑定义域,即定义域优先的原则．研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题．复合函数的单调性的法则是“同增异减”．本题的易错点为：易忽略2－ax＞0在[0，1]上恒成立,即2－a＞0。实质上是忽略了真数大于0的条件．
【训练3】 已知f（x)＝log4(4x－1）
(1)求f(x)的定义域；
(2）讨论f(x）的单调性；
(3）求f(x）在区间上的值域．
解　(1)由4x－1〉0解得x〉0,
因此f（x)的定义域为(0，＋∞)．
（2)设0<x1〈x2，则0〈4 x1－1〈4 x2－1，
因此log4（4 x1－1)<log4（4 x2－1),即f（x1）〈f(x2），f(x)在（0，＋∞）上递增．
（3)f（x）在区间上递增，
又f＝0，f(2）＝log415，
因此f（x）在上的值域为［0，log415］．

难点突破4——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法
指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道选择或填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨论．
一、与对数函数有关的求值问题
【示例】► (2011·陕西)设f(x)＝
若f(f(1））＝1,则a＝________.

二、与对数函数有关的解不等式问题
【示例】► (2011·辽宁改编)设函数f(x)＝则满足f（x)≤2的x的取值范围是________．

幂函数（主考二次函数的图象和性质)
幂函数的图象与性质

y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
一般式
y＝xα(α∈R)
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R且x≠0}
值　域
R
［0，＋∞)
R
[0,＋∞）
{y｜y∈R且y≠0｝
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞）时，增
x∈（－∞，0]时，减
增
增
x∈(0，＋∞)时，减
x∈（－∞，0)时，减
定点
(0，0），（1,1）
（1，1)

五个代表
函数y＝x，y＝x2,y＝x3，y＝x,y＝x－1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表．
两种方法
函数y＝f（x）对称轴的判断方法
（1)对于二次函数y＝f（x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f（x)的图象关于x＝对称．
（2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f（a＋x）＝f（a－x)成立的充要条件是函数y＝f（x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数）．
双基自测
1．（2011·安徽）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2－x，则f（1）＝(　　)．
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析　∵f(x）为奇函数，f（－1）＝－f（1)∴f（1）＝－f（－1)＝－3.
答案　A
2.（人教A版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2,±四个值,则相应于曲线C1,C2,C3，C4的n值依次为(　　)．

A．－2，－,,2 B．2，，－,－2
C．－，－2,2， D．2，，－2,－
答案　B
3．(2011·浙江)设函数f（x）＝若f(α)＝4，则实数α等于（　　）．
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
解析　由或得α＝－4或α＝2，故选B。
答案　B
4．已知函数f（x）＝x2－2x＋2的定义域和值域均为［1，b］，则b等于（　　)．
A．3 B．2或3 C．2 D．1或2
解析　函数f(x)＝x2－2x＋2在[1，b]上递增，
由已知条件即解得b＝2.
答案　C
5．（2012·武汉模拟）若函数f(x)＝(x＋a）(bx＋2a）(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________。
解析　f(x)＝bx2＋（ab＋2a)x＋2a2
由已知条件ab＋2a＝0,又f（x）的值域为（－∞，4],
则因此f(x）＝－2x2＋4。
答案　－2x2＋4

考向一　二次函数的图象
【例1】►(2010·安徽）设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)．

［审题视点] 分类讨论a＞0,a＜0。
解析　若a＞0，则bc＞0,根据选项C、D，c＜0，此时只有b＜0，二次函数的对称轴方程x＝－＞0，选项D有可能；若a＜0，根据选项A，c＜0，此时只能b＞0，二次函数的对称轴方程x＝－＞0,与选项A不符合；根据选项B，c＞0，此时只能b＜0，此时二次函数的对称轴方程x＝－＜0，与选项B不符合．综合知只能是选项D。
答案　D
分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等．
【训练1】 已知二次函数f（x）的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象的大致形状是（　　)．

解析　由函数f(x）的图象知：当x∈（－∞，1］时，f（x)为减函数，∴f′（x）≤0；当x∈[1，＋∞）时，f(x)为增函数，∴f′(x）≥0。结合选项知选C。 答案　C
考向二　二次函数的性质
【例2】►函数f（x)＝x2－2x＋2在闭区间［t,t＋1］（t∈R)上的最小值记为g（t)．
（1)试写出g（t）的函数表达式；
（2)作g（t）的图象并写出g（t)的最小值．
［审题视点] 分类讨论t的范围分别确定g(t)解析式．
解　(1）f（x)＝（x－1）2＋1。
当t＋1≤1，即t≤0时，g(t）＝t2＋1.
当t<1〈t＋1,即0<t<1时，g（t)＝f(1）＝1
当t≥1时，g(t）＝f(t）＝(t－1)2＋1
综上可知g(t)＝
(2)g(t)的图象如图所示,可知g（t)在（－∞，0］上递减，在［1,＋∞）上递增，因此g(t）在[0，1]上取到最小值1。

(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，在（－∞，＋∞）上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；（2)二次函数y＝ax2＋bx＋c,在[m,n］上的最值需要根据二次函数y＝ax2＋bx＋c图象对称轴的位置，通过讨论进行求解．
【训练2】 已知函数f（x)＝x2＋2ax＋2,x∈［－5,5］．
（1）当a＝－1时，求函数f（x）的最大值和最小值．
（2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间［－5，5］上是单调函数．
解　（1）当a＝－1时，f（x）＝x2－2x＋2＝(x－1）2＋1,x∈［－5,5］，
∴x＝1时,f（x）取得最小值1;
x＝－5时，f（x）取得最大值37.
（2）函数f（x)＝（x＋a）2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，
∵y＝f(x）在区间［－5,5］上是单调函数，
∴－a≤－5或－a≥5，
故a的取值范围是a≤－5或a≥5.

1．下列函数与有相同图象的一个函数是（ )
　　A． 　　　　　　　　　　B．
　　C．　　　 D．
　　2．下列函数中是奇函数的有几个（ )
　　① ② ③ ④
　　A．1　　　 B．2　　　 C．3 　　　D．4
　　3．已知，则值为( )
　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D.
　　4．（2011江西文3）若,则的定义域为( )
　　A．　　　 B． 　　　C． 　　　D．
　　5．若，则的表达式为（ ）
　　A． 　　　B．　　　 C． 　　　D．
　　6．函数( ）
　　A．是偶函数，在区间上单调递增
　　B．是偶函数，在区间上单调递减
　　C．是奇函数，在区间上单调递增
　　D．是奇函数，在区间上单调递减
　　7．（2011 辽宁理9)设函数f(x)＝则满足的的取值范围是（ ）
　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．
8．函数在上递减，那么在上（ ）
　　A．递增且无最大值　　　　 B．递减且无最小值
　　C．递增且有最大值　　　　 D．递减且有最小值
9．函数的值域是__________.
10．函数的值域是__________。
1。D ，对应法则不同；
　　;.
2.D 对于,为奇函数;
　　对于，显然为奇函数；显然也为奇函数;
　　对于,，为奇函数。
3.B
　　　　。
4。C 。
5.D 由得。
6.B 令，即为偶函数；
　　令时，是的减函数，即在区间上单调递减。
7.D 不等式等价于或，解不等式组，可得或，即，故选D。
8。A 令,是的递减区间，即,是的递增区间，即递增且无最大值。
9. 而。
10。 ，.

19

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