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(完整word)指对幂函数-教案燕园思达教育教案2012 高中数学高一-1人User指数函数指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域R值域（0，)性质过定点（0,1）值域x0时，0y1当x0时,y1x0时，y1.当x0时，0y1单调性在（，）上是增函数在（,)上是减函数a变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，a逐渐增大；在第二象限内,从逆时针方向看图象，a逐渐减小.常用公式arasars（a0，r、sQ）（ar)sars(a0，r、sQ)(ab)rarbr（a0，b0，rQ)指数函数一个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0a1和a1进行分类讨论（2）换元时注意换元后“新元的范围三个关键点画指数函数yax(a0，且a1)的图象,应抓住三个关键点：(1,a），（0，1），.双基自测1(2011山东）若点（a，9）在函数y3x的图象上，则tan的值为（） A0 B. C1 D.解析由题意有3a9,则a2，tan tan 。答案D2（2012郴州五校联考）函数f(x）2|x1|的图象是（)解析f（x）故选B.答案B3若函数f（x），则该函数在（，）上是（)A单调递减无最小值 B单调递减有最小值C单调递增无最大值 D单调递增有最大值解析设yf(x),t2x1，则y，t2x1，x(,）t2x1在（，）上递增,值域为（1，）因此y在(1,）上递减，值域为(0，1)答案A4(2011天津)已知a5,b5,c，则(）Aabc BbacCacb Dcab解析c55，log23.4log221，log43。6log441，log3log331，又log23.4log2log3 ,log2 3。4log3 log4 3。6又y5x是增函数,acb。答案C5(2012天津一中月考)已知aa3,则aa1_；a2a2_.解析由已知条件(aa）29。整理得：aa17又（aa1)249,因此a2a247。答案747考向一指数函数的性质【例2】已知函数f(x)x3（a0且a1）(1）求函数f（x）的定义域；（2)讨论函数f(x）的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立审题视点 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决解（1）由于ax10，且ax1，所以x0.函数f（x）的定义域为x|xR，且x0（2）对于定义域内任意x，有f(x)(x)3 （x）3（x）3 x3f（x)，f(x)是偶函数(3）当a1时，f(x).对x0,由指数函数的性质知ax1,ax10，ax10。又x0时，x30，0，即当x0时，f（x)0.又由(2)知f（x）为偶函数，即f(x)f(x）,则当x0时,x0,有f(x)f(x)0成立综上可知，当a1时，f（x)0在定义域上恒成立当0a1时,f（x）。当x0时,1ax0,ax10，ax10，x30，此时f(x)0，不满足题意；当x0时，x0，f（x)f（x)0，也不满足题意综上可知，所求a的取值范围是a1. （1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f（x)f(x)，来判断（2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法【训练2】 设f(x）是定义在R上的函数(1)f(x）可能是奇函数吗?（2)若f(x)是偶函数,试研究其在（0，）的单调性解(1)假设f（x)是奇函数，由于定义域为R，f（x）f（x)，即，整理得(exex）0，即a0，即a210显然无解f（x）不可能是奇函数(2）因为f（x）是偶函数，所以f(x）f(x),即,整理得（exex)0，又对任意xR都成立,有a0，得a1.当a1时,f（x）exex,以下讨论其单调性，任取x1，x2（0，）且x1x2，则f(x1)f（x2）计算过程很简单0,即f（x1)f（x2),当a1时，函数f（x）在（0,)为增函数,同理，当a1时,f(x)在（0，）为减函数考向二指数函数图象的应用【例3】(2009山东)函数y的图象大致为（)审题视点 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性解析y(化简可得)1，当x0时，e2x10且随着x的增大而增大，故y11且随着x的增大而减小,即函数y在（0，）上恒大于1且单调递减，又函数y是奇函数，故选A.答案A 利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数y，y，ylg（10x1)等【训练3】 已知方程10x10x,lg xx10的实数解分别为和，则的值是_解析作函数yf（x)10x，yg(x)lg x，yh(x)10x的图象如图所示，由于yf（x）与yg(x)互为反函数，它们的图象是关于直线yx对称的又直线yh（x)与yx垂直，yf（x)与yh（x)的交点A和yg（x）与yh（x）的交点B是关于直线yx对称的而yx与yh(x）的交点为（5，5）又方程10x10x的解为A点横坐标，同理，为B点横坐标5，即10.答案10基础梳理2对数函数的图象与性质ylogaxa10a1图象性质定义域：(0，)值域:R过点(1，0)当x1时,y0当0x1，y0当x1时，y0当0x1时，y0是(0,）上的增函数是（0，）上的减函数a变化对图象的影响a1，从逆时针方向看图象，a逐渐减小；0a1，从逆时针方向看图象，a逐渐增大。常用公式换底公式：logbN(a,b均大于零且不等于1）；倒数公式：logab，推广logablogbclogcdlogad。如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN）logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR）； log amMnlogaM。 一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明两个防范解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2）注意对数底数的取值范围三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点:（a，1)，(1,0），.四种方法对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性（2）作差或作商法（3）利用中间量（0或1)(4)化同真数后利用图象比较双基自测1(2010四川）2 log510log50。25(）A0 B1 C2 D4解析原式log5100log50。25log5252.答案C2（人教A版教材习题改编）已知alog0。70.8,blog1。10。9，c1.10。9，则a，b，c的大小关系是(）Aabc BacbCbac Dcab解析将三个数都和中间量1相比较:0alog0.70.81，blog1。10。90，c1。10.91。答案C3(2012黄冈中学月考)函数f（x)log2(3x1）的值域为()A(0，) B0，)C（1，） D1，）解析设yf(x），t3x1。则ylog2t，t3x1,xR.由ylog2t，t1知函数f(x）的值域为(0，)答案A4(2012汕尾模拟)下列区间中，函数f（x）ln(2x)|在其上为增函数的是(）A（,1 B。C。 D1，2）解析法一当2x1，即x1时,f(x)ln（2x)ln(2x)，此时函数f（x）在（，1上单调递减当02x1，即1x2时，f（x)ln（2x）|ln（2x),此时函数f(x）在1,2）上单调递增，故选D。法二f(x)|ln(2x）|的图象如图所示由图象可得，函数f(x)在区间1，2）上为增函数，故选D.答案D5若loga1，则a的取值范围是_答案考向一对数式的化简与求值【例1】求值：（1）;(2)(lg 5）2lg 50lg 2；（3）lg lg lg 。审题视点 运用对数运算法则及换底公式解(1)原式。(2）原式(lg 5)2lg（105）lg （lg 5）2(1lg 5)(1lg 5)（lg 5)21(lg 5）21.(3)法一原式(5lg 22lg 7)lg 2（2lg 7lg 5)lg 2lg 72lg 2lg 7lg 5(lg 2lg 5）lg 10.法二原式lglg 4lg（7)lglg. 对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化【训练1】 （1）若2a5b10，求的值(2)若xlog341，求4x4x的值解(1）由已知alog210,blog510,则lg 2lg 5lg 101.(2)由已知xlog43，则4x4x4log434log433。考向二对数值的大小比较【例2】已知f（x）是定义在（,）上的偶函数,且在（，0上是增函数,设af(log47)，bf(log3），cf(0。20。6)，则a，b，c的大小关系是()Acab BcbaCbca Dabc审题视点 利用函数单调性或插入中间值比较大小解析log3log23log49，bf(log3)f(log49)f（log49），log47log49，0。20.62log49，又f（x)是定义在（，）上的偶函数，且在(，0上是增函数,故f(x）在0，）上是单调递减的，f（0。20。6)f(log3）f（log47）,即cba,故选B。答案B 一般是同底问题利用单调性处理,不同底问题的处理,一般是利用中间值来比较大小,同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决【训练2】 (2010全国）设alog32，bln 2，c5,则()Aabc Bbca Ccab Dcba解析法一alog32,bln 2，而log23log2e1，所以ab，c5,而2log24log23，所以ca，综上cab,故选C.法二alog32，bln 2，1log2elog232,1;c5，所以cab，故选C.答案C考向三对数函数性质的应用【例3】已知函数f(x)loga(2ax)，是否存在实数a,使函数f(x)在0，1上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围审题视点 a0且a1，问题等价于在0，1上恒有.解a0，且a1，u2ax在0,1上是关于x的减函数又f（x）loga(2ax）在0，1上是关于x的减函数，函数ylogau是关于u的增函数，且对x0,1时,u2ax恒为正数其充要条件是，即1a2.a的取值范围是（1,2) 研究函数问题，首先考虑定义域,即定义域优先的原则研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题复合函数的单调性的法则是“同增异减”本题的易错点为：易忽略2ax0在0，1上恒成立,即2a0。实质上是忽略了真数大于0的条件【训练3】 已知f（x)log4(4x1）(1)求f(x)的定义域；(2）讨论f(x）的单调性；(3）求f(x）在区间上的值域解(1)由4x10解得x0,因此f（x)的定义域为(0，)（2)设0x1x2，则04 x114 x21，因此log4（4 x11)log4（4 x21),即f（x1）f(x2），f(x)在（0，）上递增（3)f（x）在区间上递增，又f0，f(2）log415，因此f（x）在上的值域为0，log415难点突破4与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道选择或填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨论一、与对数函数有关的求值问题【示例】 (2011陕西)设f(x)若f(f(1）1,则a_.二、与对数函数有关的解不等式问题【示例】 (2011辽宁改编)设函数f(x)则满足f（x)2的x的取值范围是_ 幂函数（主考二次函数的图象和性质)幂函数的图象与性质yxyx2yx3yxyx1一般式yx(R)定义域RRR0，)x|xR且x0值域R0，)R0,）yyR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，）时，增x（，0时，减增增x(0，)时，减x（，0)时，减定点(0，0），（1,1）（1，1) 五个代表函数yx，yx2,yx3，yx,yx1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表两种方法函数yf（x）对称轴的判断方法（1)对于二次函数yf（x)对定义域内所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf（x)的图象关于x对称（2)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f（ax）f（ax)成立的充要条件是函数yf（x)的图象关于直线xa对称(a为常数）双基自测1（2011安徽）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）2x2x，则f（1）()A3 B1 C1 D3解析f(x）为奇函数，f（1）f（1)f（1）f（1)3. 答案A2.（人教A版教材例题改编)如图中曲线是幂函数yxn在第一象限的图象已知n取2,四个值,则相应于曲线C1,C2,C3，C4的n值依次为()A2，,2 B2，,2C，2,2， D2，2,答案B3(2011浙江)设函数f（x）若f()4，则实数等于（）A4或2 B4或2C2或4 D2或2解析由或得4或2，故选B。答案B4已知函数f（x）x22x2的定义域和值域均为1，b，则b等于（)A3 B2或3 C2 D1或2解析函数f(x)x22x2在1，b上递增，由已知条件即解得b2.答案C5（2012武汉模拟）若函数f(x)(xa）(bx2a）(常数a、bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_。解析f(x)bx2（ab2a)x2a2由已知条件ab2a0,又f（x）的值域为（，4,则因此f(x）2x24。答案2x24考向一二次函数的图象【例1】(2010安徽）设abc0，二次函数f（x）ax2bxc的图象可能是()审题视点 分类讨论a0,a0。解析若a0，则bc0,根据选项C、D，c0，此时只有b0，二次函数的对称轴方程x0，选项D有可能；若a0，根据选项A，c0，此时只能b0，二次函数的对称轴方程x0,与选项A不符合；根据选项B，c0，此时只能b0，此时二次函数的对称轴方程x0，与选项B不符合综合知只能是选项D。答案D 分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等【训练1】 已知二次函数f（x）的图象如图所示，则其导函数f(x)的图象的大致形状是（)解析由函数f(x）的图象知：当x（，1时，f（x)为减函数，f（x）0；当x1，）时，f(x)为增函数，f(x）0。结合选项知选C。 答案C考向二二次函数的性质【例2】函数f（x)x22x2在闭区间t,t1（tR)上的最小值记为g（t)（1)试写出g（t）的函数表达式；（2)作g（t）的图象并写出g（t)的最小值审题视点 分类讨论t的范围分别确定g(t)解析式解(1）f（x)（x1）21。当t11，即t0时，g(t）t21.当t1t1,即0t1时，g（t)f(1）1当t1时，g(t）f(t）(t1)21综上可知g(t)(2)g(t)的图象如图所示,可知g（t)在（，0上递减，在1,）上递增，因此g(t）在0，1上取到最小值1。 (1)二次函数yax2bxc，在（，）上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；（2)二次函数yax2bxc,在m,n上的最值需要根据二次函数yax2bxc图象对称轴的位置，通过讨论进行求解【训练2】 已知函数f（x)x22ax2,x5,5（1）当a1时，求函数f（x）的最大值和最小值（2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5，5上是单调函数解（1）当a1时，f（x）x22x2(x1）21,x5,5，x1时,f（x）取得最小值1;x5时，f（x）取得最大值37.（2）函数f（x)（xa）22a2的图象的对称轴为直线xa，yf(x）在区间5,5上是单调函数，a5或a5，故a的取值范围是a5或a5.1下列函数与有相同图象的一个函数是（ )A BC D2下列函数中是奇函数的有几个（ ) A1 B2 C3 D43已知，则值为( )A B C D. 4（2011江西文3）若,则的定义域为( )A B C D 5若，则的表达式为（ ）A B C D6函数( ）A是偶函数，在区间上单调递增B是偶函数，在区间上单调递减C是奇函数，在区间上单调递增D是奇函数，在区间上单调递减7（2011 辽宁理9)设函数f(x)则满足的的取值范围是（ ）A B C D 8函数在上递减，那么在上（ ）A递增且无最大值 B递减且无最小值C递增且有最大值 D递减且有最小值9函数的值域是_.10函数的值域是_。1。D ，对应法则不同；;.2.D 对于,为奇函数;对于，显然为奇函数；显然也为奇函数;对于,，为奇函数。3.B 。4。C 。5.D 由得。6.B 令，即为偶函数；令时，是的减函数，即在区间上单调递减。7.D 不等式等价于或，解不等式组，可得或，即，故选D。8。A 令,是的递减区间，即,是的递增区间，即递增且无最大值。9. 而。10。 ，. 19请提前7个工作日提交您的教案教案提交邮箱：yyjiaoan