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幂函数教案

教材分析：幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。本课的教学重点是掌握常见幂函数的定义和性质，难点是根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小。
幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数，只需重点掌握这五个函数的图象和性质。
学生已经有了学习幂函数和对象函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。
教学目标：
㈠知识和技能
1．了解幂函数的定义，会画幂函数，，的图象与性质；并能结合这几个常见的幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况，能利用幂函数的性质来解决一些实际问题·
2．了解几个幂函数的性质。
㈡过程与方法
1．通过学生对情景的观察、思考、归纳、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象、识图能力和解决问题的能力。
2．使学生进一步体会数形结合的思想。
㈢情感、态度与价值观
1．通过生活实例引出幂函数的定义，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。
2．利用计算机等工具，了解幂函数，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。
教学重点
常见幂函数的概念、图象和性质
教学难点
幂函数的单调性与性质
教学过程
一、创设情景，引入新课
问题1：如果张红购买了每千克1元的水果x千克，那么她需要付的钱数y（元）和购买的水果量x（千克）之间有何关系？这里y是x的函数。
问题2：如果正方形的边长为x，那么正方形的面积，这里y是x的函数。
问题3：如果正方体的边长为x，那么正方体的体积,这里y是x的函数。
问题4：如果正方形场地面积为x，那么正方形的边长,这里y是x的函数
问题5：如果某人x (s)内骑车行进了km，那么他骑车的速度，这里y是x的函数。
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？
（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（解析式是幂的 形式，底数是自变量，指数是常量）（引入新课，书写课题）
二、新课讲解
（一）幂函数的定义
这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此给出幂函数的一般式吗？
幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（power function），其中是自变量，α是常数。
【说明一】中前面的系数为1，并且后面没有常数项；（看幂数函数的定义）
【说明二】幂函数由于指数α的不同，它们的定义域也不同；（看幂数函数的定义）

例一：判断下列函数是否为幂函数,是幂函数的指出它的定义域：
（1） （3）（4） （5） （6）
解：（1）、（2）、（4）为幂函数，其定义域：
（1）x∈R （2）x≠0 （4）x≥0
课堂练习：教科书P87习题2.3的第1，2题。
学生思考做答。教师要特别指出判断一个函数是否为幂函数，要紧扣幂函数的定义。
练习一：？
（是幂函数）
练习二：

设计意图：进一步巩固幂函数概念的理解，复习利用待定系数法求函数解析式的一般步骤。
（二）几个常见幂函数的图象和性质
我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应该研究什么呢？（研究图象和性质）
在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
根据你的学习经历，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？

X
…
-2
-1.5
-1
0
1
1.5
-2
…

…

-8
-3.4
-1
0
1
3.4
8
…

…

\
\
\
0
1

…

使用列表描点法在同一坐标系中绘出它们的图象.
【探究一】观察函数的图象，将你发现的结论写在下表内。

定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点

【探究二】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：的共同性质。
（1） 函数的图象都过点
（2） 函数在(0,+ ∞)上单调递增；
归纳：幂函数图象的基本特征是，当是，图象过点，且在第一象限随的增大而上升,函数在区间(0,+∞)上是单调增函数。
请同学们模仿我们探究幂函数图象的基本特征的情况探讨时幂函数图象的基本特征。
一般幂函数y=xα的性质:
1、 幂函数的定义域、奇偶性，单调性，因函数式中α的不同而各异.
2、 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1).
2.1、 如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数.
2.2、 如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1), 且在第一象限随的增大而下降，并在(0,+∞)上为减函数，且向右无限接近X轴，向上无限接近Y轴.
设计意图：通过回顾前面研究幂函数性质的思路方法及步骤，让学生自主探究幂函数性质，培养学生的自主探究意识及发现问题，解决问题的能力。

（三）例题剖析
【例1】。

方法引导：分子有理化
设计意图：让学生回顾证明函数单调性的方法—作差法

三、课堂小结
1、 幂函数的定义
2、 幂函数的图象
3、 幂函数的性质及其应用。
四、布置作业
㈠课本第87页习题第2、3题
㈡思考题：利用幂函数的性质，比较下面各组中两个值的大小

5

1、 解：

2、 解：

同伴评 （优、良、中、须努力）
自 评 （优、良、中、须努力）
教师评 （优、良、中、须努力）