甘肃省天水市一中2021届高三数学上学期第四次考试试题-理.doc

甘肃省天水市一中2021届高三数学上学期第四次考试试题 理

甘肃省天水市一中2021届高三数学上学期第四次考试试题 理

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甘肃省天水市一中2021届高三数学上学期第四次考试试题 理
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝（ ）
A．1＋i B． C． D．
3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的侧棱最长的是（ ）
A．2 B． C． D．
4．已知x、y都是实数，那么“”的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．已知命题，.若为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若，是函数两个相邻的极值点，则（ ）
A．3 B． C． D．
7．已知直线与圆：相交于、两点，为圆心.若为等边三角形，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．《张丘建算经》卷上第题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现一月（按天计）共织尺”，则从第天起每天比前一天多织（ ）
A．尺布 B．尺布 C．尺布 D．尺布
9．已知实数、满足约束条件，若目标函数()的最大值为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
10．函数的图象大致为（ ）
A． B．C．D．
11．过双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．＋1 D．
12．已知函数，若恒成立，则整数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设，，若，则实数m＝_____．
14．若抛物线上一点到焦点的距离为4，则点的纵坐标的值为___________
15．在二面角中，，且，，若，，二面角的余弦值为，则________；直线与平面所成角正弦值为________．
16．椭圆的左、右焦点分别为，，C上存在一点P使得，则椭圆离心率的范围是_______．
三、解答题（第17题10分，第18—22题均为12分，共70分）
17．（10分）数列是等比数列，前n项和为，，.
（1）求；
（2）若，求.

18．（12分）在四边形中，，是上的点且满足与相似，，，.
（1）求的长度；
（2）求三角形面积的最大值.

19． （12分）在如图所示的几何体中，平面，四边形为等腰梯形，，，，，，.
（1）证明：；
（2）当二面角的余弦值为时，求线段的长.

20．（12分）已知椭圆的上顶点为P，右顶点为Q，直线PQ与圆相切于点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不经过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，且＝0，求证：直线l过定点.

21．（12分）已知函数，.
（I）若的极值为，求的值；
（Ⅱ）若时，恒成立，求的取值范围

22．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）点的直角坐标为，若曲线和相交于两点，求的值。
理科参考答案
1． B 2．B 3．C
4．B 对于A，，故“”是“”的充分不必要条件，不符合题意；
对于B，，即“”是“”的充要条件，符合题意；
对于C，由得，或，，不能推出，由也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，不符合题意；
对于D，由，不能推出，由也不能推出，故“”是“”的既不充分也不必要条件，不符合题意； 故选：B.
5．A 为假命题，，为真命题，故恒成立，
在的最小值为， ∴.故选：A.
6． B 7．D
8．D 设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，
由题意可得，解得. 故选：D.
9．C 作出可行域，如图内部（含边界），、、，
则()取最大值为，，即直线过点或时截距最大，
过时，，解得，经检验满足题意，
过时，，，经检验不合题意．综上．故选：C．
10．C 因为，
所以，
即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D，
又因为，当且仅当时取等号，所以，
当时，，当时，，
所以，当时，，当时，，故排除A、B，故选：C．
11．A 不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，如图所示:
因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，
又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，
根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，
在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故选A.
12．B ， 可化为
即，令，
则
令，则，时，，在单调递增.
又使，即.
当时，单调递减，当时，单调递增，
，，，
正整数的最大值为. 故选：B.
13．
14．3 由可得，所以该抛物线的焦点为，准线方程为，
设，由抛物线的定义可得，所以．
15．
（1）如图，过A作，过点D作，交AE于点E，连接CE，为平行四边形，，，面，
，为二面角的平面角，
利用余弦定理，，得，
在中，； 故答题空1：
（2）如图，过作，连接，则由面得，，面，
故是与平面所成角，又在中，已知，
故，又由，得，则
故答题空2为：
16． 设，则，
在中，由余弦定理得：，
解得，
因为，所以，即，且，所以，
故椭圆的离心率的取值范围是.故答案为：.
17．（1）；（2）.
解：（1）由 当时，两式相减，得.
∵是等比数列，∴ 又
（2）， ， 得
两式相减，得.
18．（1）；（2）.
（1），在三角形中，，即，
所以，；
（2） 因为，所以，
在三角形中，，所以，
所以，所以，
所以，所以三角形面积的最大值为.
19．(1)证明见解析；(2).
(1)由题知平面，平面,∴
过点作于点，在中，，，得，
在中，
∴，∴且，∴平面
又∵平面，∴.
（2）以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
∴，，， 设为平面的一个法向量，
则，令得，
同理可求得平面的一个法向量，
，化简得，解得或，
∵二面角为锐二面角，经验证舍去，∴.
作于点，则为中点，∴.
20．（1）；（2）证明见解析.
(1)由题意，圆的圆心坐标为，
又由点，可得，所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即，可得点，即，
所以椭圆C的方程为.
(2)当直线的斜率不存在时，显然不满足条件. 当直线的斜率存在时，设的方程为，
联立方程组，消去y整理得，
，得.①
设，则.②
由，得，又由，
所以，③
由②③得(舍)，或，满足①. 此时的方程为，故直线过定点.
21．（I）；（II）.
（I），.，
当时，恒成立，故无极值点， 当时，令，则，
当时，，时，，
所以，在区间上递减，在区间上递增，
所以当且仅当时，取到极小值， ，
设函数，，
当时，，时，，
∴在区间上递增，在区间上递减，∴在时取得最大值，
所以是唯一解
（II），，(1)当时，，在单调递增，
，不恒成立.
(2)当时，，在单调递增，，成立.
(3)当时，，，在单调递减，在单调递增，
令，，在单调递减，单调递增
，，在单调递增，，
，，，在单调递减，在单调递增，， 在上单调递增，恒成立，，恒成立. 综上：
22．（1），；（2）.
（1）由消去参数得曲线的普通方程为，
由的极坐标方程为，两边同乘以，得，
将代入，得曲线的直角坐标方程为；
（2）设，将代入得，
.