高中数学难题(含参考答案).doc

东莞龙文教育高中数学试卷（24）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。
1．若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M∩N等于
A．｛0，1｝ B．｛-1，0，1｝ C．｛0，1，2｝ D．｛-1，0，1，2｝
2．i是虚数单位1+i3等于
A．i B．-i C．1+i D．1-i
3．若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为
A．6 B．8 C．10 D．12
5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是
A．3 B．11
C．38 D．123
6．若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的
取值范围是
A．（-1,1）
B．（-2,2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）
7．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的重点，若在矩形ABCD内部随
机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于
A． B．
C． D．
8．已知函数f（x）=。若f（a）+f（1）=0,则实数a的值等于
A．-3 B．-1 C．1 D．3
9．若a∈（0， ），且sin2a+cos2a=，则tana的值等于
A． B． C． D．
10．若a>0,b>0,且函数f（x）=在x=1处有极值，则ab的最大值等于
A．2 B．3 C．6 D．9
11．设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I上存在点P满足：：=4：3:2，则曲线I的离心率等于
A． B．
C． D．
12．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4。给出如下四个结论：
①2011∈[1]
②-3∈[3]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”。
其中正确结论的个数是
A．1 B．2
C．3 D．4

第II卷（非选择题 共90分）

注意事项：
用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上。
13．若向量a=（1,1），b（-1,2），则a·b等于_____________．
14．若△ABC的面积为，BC=2，C=，则边AB的长度等于_______．
15．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2。，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

16．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b-a），这里，x被称为乐观系数。
经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于_____________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若数列{an}的前k项和=-35，求k的值．

18．（本小题满分12分）
如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A。
（I）求实数b的值；
（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

19．（本小题满分12分）
某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1．2．3．4．5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X
1
2
3
4
5
f
a
0．2
0．45
b
C
（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；
（11）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3，等级系数为5的2件日用品记为y1,y2，现从x1,x2,x3,y1,y2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。

20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
（I）求证：CE⊥平面PAD；
（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积

21．（本小题满分12分）
设函数f（）=，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x,y），且。
（1）若点P的坐标为，求的值；
（II）若点P（x，y）为平面区域Ω：，上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数的最小值和最大值。

22．（本小题满分14分）
已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然对数的底数）。
（I）求实数b的值；
（II）求函数f（x）的单调区间；
（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m<M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。

东莞龙文教育高中数学试卷（24）
参考答案

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
1——12 ADABBCCADDAC
二、填空题：本大题考查基础知识的基本运算，每小题4分，满分16分。
13．1 14．2 15． 16．
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．本小题主要考查等差数列的基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分12分。
解：（I）设等差数列的公差为d，则
由
解得d=-2。
从而，
（II）由（I）可知，
所以
进而由
即，解得
又为所求。
18．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，满分12分。
解：（I）由，（*）
因为直线与抛物线C相切，所以
解得b=-1。
（II）由（I）可知，
解得x=2，代入
故点A（2，1），
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，
即
所以圆A的方程为
19．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想，满分12分。
解：（I）由频率分布表得，
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，
所以
等级系数为5的恰有2件，所以，
从而
所以
（II）从日用品中任取两件，
所有可能的结果为：
，
设事件A表示“从日用品中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：
共4个，
又基本事件的总数为10，
故所求的概率
20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12分
（I）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，
所以
因为
又
所以平面PAD。
（II）由（I）可知，
在中，DE=CD
又因为，
所以四边形ABCE为矩形，
所以
又平面ABCD，PA=1，
所以
21．本小题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分12分。
解：（I）由点P的坐标和三角函数的定义可得
于是
（II）作出平面区域（即三角形区域ABC）如图所示，其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）。
于是
又，
且
故当，
取得最大值，且最大值等于2；
当时，
取得最小值，且最小值等于1。
22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。
解：（I）由
（II）由（I）可得
从而
，故：
（1）当
（2）当
综上，当时，函数的单调递增区间为，
单调递减区间为（0，1）；
当时，函数的单调递增区间为（0，1），
单调递减区间为。
（III）当a=1时，
由（II）可得，当x在区间内变化时，的变化情况如下表：

-
0
+

单调递减
极小值1
单调递增
2
又的值域为[1，2]。
据经可得，若，则对每一个，直线y=t与曲线都有公
共点。
并且对每一个，直线与曲线都没有公共点。
综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个，直线y=t
与曲线都有公共点。

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