初中数学概念汇总.pdf

1第一章第一章 实数实数11 实数的有关概念及实数的分类实数的有关概念及实数的分类知识要点知识要点一、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴上所有的点与全体实数是一一对应关系。二、无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数三、在数轴上，原点两旁且与原点距离相等的两个点所表示的数是互为相反数。四、两个互为相反数的和等于零；互为倒数的两个数的积等于 1；零没有倒数。五、偶数一般用（为整数）来表示，奇数一般用n2n来表示。12 n六、有理数都可以表示为（，为整数且，nmmnm互质）的形式；任何一个分数都可以化成有限小数或无限循n环小数的形式。七、绝对值)0()0(2aaaaaa八、非负数像，形式的数都表示a2a)0(aa非负数。非负数性质最小的非负数是 0；若几个非负数的和是 0，则每个非负数都是 0。九、近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是 0 的数字起到精确的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字。十科学记数法把一个数记成的形式叫做科学na 10记数法，其中，为整数。101 an12 实数的运算与实数的大小比较实数的运算与实数的大小比较知识要点知识要点一、实数运算在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，但是，除数不能为 0，开偶次方时被开方数为非负数。其中加、减是一级运算，乘、除是二级运算，乘方、开方是三级运算，同级运算从左到右依次进行；无括号的不同级运算先算高级运算；有括号时，先算小括号，再算中括号的，后算大括号的。二、实数的大小比较三种比较方法：数轴比较法，将两实数分别表示在数轴上，右边的数总比左边的数大，两数表示同一点则相等。差值比较法，设，是任意两实数，则ab；baba0baba0。商值比较法，设，是任意两正实数，baba0ab则；。baba1baba1baba1第三章第三章不等式（组）不等式（组）知识要点知识要点一、不等式的基本性质（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。二、不等式（组）的解法（1）解一元一次不等式和解一元一次方程相类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。（2）解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集。三、设，那么：（1）不等式组的解集是ba bxax；（2）不等式组的解集是；（3）不等式bx bxaxax 组的解集是；（4）不等式组的解集bxaxbxabxax是空集。2第二章第二章代数式代数式21 整式（知识要点）整式（知识要点）一、代数式的分类无理式分式多项式单项式整式有理式代数式二、同类项：所含的字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变。三、整式的运算（1）整式的加减先去括号或添括号，再合并同类项。（2）整式的乘除幂的运算性质（nmnmaaa，为整数，）；（，为整数，mn0amnnmaa)(mn）；（为整数且）；0annnbaab)(n0a（，为整数，）。nmnmaaamn0a乘法公式（1）平方差：。（2）22)(bababa完全平方公式：。（3）立方和（差）2222)(bababa：3322)(babababa四、代数式的值用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。22 因式分解（知识要点）因式分解（知识要点）一、因式分解把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。二、因式分解的基本方法（1）提取公因式法。（2）公式法。（3）分组分解法。三、因式分解的其它方法（1）配方法。（2）求根公式法。（3）换元法。四、因式分解常用的公式如下（1）；)(22bababa（2）；222)(2bababa（3）。)(2233babababa23 分式（知识要点）分式（知识要点）一、分式如果中含有字母，式子叫做分式，分式中字BBA母取值必须使分母的值不为零。二、分式的基本性质MBMABAMBMABA（为不等于 0 的整式）。M三、分式的运算四、（1）加减法：，；cbacbcabdbcaddcba（2）乘除法：，；bdacdcbabcadcdbadcba（3）乘方：（为正整数）；nnnbaba)(n（4）符号法则：。babababa四、约分根据分式的基本性质，把分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。五、通分根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分。24 二次根式（知识要点）二次根式（知识要点）一、二次根式式子叫做二次根式。)0(aa二、最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。三、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。四、二次根式的主要性质（1）)0()(2aaa（2）)0()0(0)0(2aaaaaaa（3）)0,0(babaab（4）)0,0(abbaab五、二次根式的运算（1）因式的外移和内移，如果被开方数中有的因式能开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。（2）有理化因式与分母有理化：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式；把分母中的根号化去，叫做分母有理化。（3）二次根式的加减法先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。（4）二次根式的乘除法二次根式相乘（除），把被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式。（5）有理数的3加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。第四章第四章方程（组）方程（组）41 整式方程（知识要点）整式方程（知识要点）一、等式和方程的有关概念，等式的基本性质。二、一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和将未知数的系数化为 1；（2）方程的解有以下三种情况：当时，方bax 0a程有且仅有一个解；当时，方程无解；当abx 0,0ba时，方程有无穷多个解。0,0ba三、一元二次方程的一般形式：，)0(02acbxax其解法主要有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法。四、一元二次方程的求根公式是)0(02acbxax。)04(24222,1acbaacbbx注意：求根公式成立的条件为（1），（2）。0a042 acb42 分式方程（知识要点）分式方程（知识要点）一、分式方程的概念。二、解分式方程的基本思想是：分式方程整式方程换元去分母三、解分式方程产生增根的原因，验根的方法。43 方程组（知识要点）方程组（知识要点）一、解二元（或三元）一次方程组的基本思路是消元，变二元（或三元）为一元（或二元），常用的方法是加减消元、代入消元法。二、解二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”，基本要求有以下两类：（1）方程组中有一个方程是一次方程的（第一型的二元二次方程组），一般用代入法求解；（2）方程组中有一个方程可以分解成两个一次方程的（第二型的二元二次方程组），可将原方程组化为两个简单的方程组。44 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（知识要点）一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（知识要点）一、一元二次方程的根的判别式)0(02acbxax是。当时，方程有两个不相等的实数根，acb420；时，方程有两个相等的aacbbx2422,10实数根，即；当时，方程没有实abxx2210数根，反之成立。二、若一元二次方程的两根为)0(02acbxax，那么21,xxacxxabxx2121,三、以两数为根的一元二次方程（二次项系数为 1）,是。0)(2xx四、注意：根与系数的关系成立的两个条件：（1）（2）。0a042 acb五、根的定义：若是的两根，则21,xx02cbxax，；反之，若，0121cbxax0222cbxax0121cbxax且，则是方程0222cbxax21xx 21,xx的两个根。02cbxax命题热点：命题热点：本节知识是重点内容，主要题型有：（1）不解方程判断一元二次方程根的情况；（2）求方程中字母系数的取值范围；（3）确定抛物线与轴的交点情况；（4）验根、求根与x确定根的符号；（5）求关于一元二次方程两根的代数式的值；（6）求作新方程；（7）解特殊方程和方程组；（8）确定字母系数之间的关系。另外本节知识与其它代数知识、几何知识的结合点与是各地中考的考查对象。在填空、选择、计算、证明、阅读理解等题型中，随处可见本节知识的身影。45 列方程（组）解应用题（列方程（组）解应用题（1）（知识要点）（知识要点）一、列方程（组）解应用题步骤：审、找、设、列、解、验、答。二、行程问题等量关系：（1）；（2）相向而时间路程速度行的相遇问题：，相遇前运动的和相距距离两者行程之时间相等或差提前时间；（3）同向追及问题：同时不同地则快车与慢车行程之差原相距距离；同地不同时则慢车与快车时间之差慢车多用时间；（4）水流问题：顺速静速水速；逆速静速水速。三、增长率等量关系：（1）增长率增量基础量，（2）为原来的量，为平均增长率，为增长次数，为增长amnb后的量，则。为下降率时，bman)1(m。bman)1(46 列方程解应用题（列方程解应用题（2）（知识要点）（知识要点）一、工程问题等量关系：；甲乙合作的工工作时间工作总量工作效率作效率甲的工作效率乙的工作效率。注：（1）工作总量常看作“1”；（2）踟问题有时可当作工程问题解。二、浓度问题等量关系：溶质质量溶液质量浓度，溶液质量溶质质量溶剂质量。447 列方程（组）解应用题（列方程（组）解应用题（3）（知识要点）（知识要点）一、利率等量关系：本息和本金利息，利息本金利率期数。二、利润等量关系：毛利润售出价进货价，利润售出价进货价其它费用。三、注意关键词的意义：盈、亏、涨、收益、赚、年利、月利、折扣等的确切意义要理解准确。第五章第五章函数及其图象函数及其图象51 平面直角坐标系与函数的概念（知识要点）平面直角坐标系与函数的概念（知识要点）一、平面直角坐标系中特殊点的坐标的特征坐标轴上点的坐标的特征：轴上的点，其纵坐标为 0；x轴上的点，其横坐标为 0；原点的坐标为。yO)0,0(二、各象限点的坐标的符号特征第一象限：；第二象限：；第0,0yx0,0yx三象限：；第四象限：。0,0yx0,0yx三、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征平行于轴的直线上任意两点的纵坐标相同；平行于轴xy的直线上任意两点的横坐标相同。四、象限角平分线上的点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。五、对称点的坐标特征坐标系中关于轴的对称点坐标为),(baAx，即横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴的),(ba y对称点坐标为，即横坐标互为相反数，纵坐标相同；),(ba关于原点的对称点坐标为，即横、纵坐标都分别),(ba 互为相反数。六、对函数概念的理解七、函数自变量的取值范围（1）整式函数，其自变量的取值范围是全体实数；（）整式函数，其自变量的取值范围是全体实数；（2）分式函数，其）分式函数，其自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）偶次根式表示的函数，）偶次根式表示的函数，其自变量的取值范围是使被开方数为非负实数；（其自变量的取值范围是使被开方数为非负实数；（4）对实际问题，其自）对实际问题，其自变量的取值范围是必须使实际问题有意义。变量的取值范围是必须使实际问题有意义。52 正比例函数与反比例函数的图象和性质（知识要点）正比例函数与反比例函数的图象和性质（知识要点）一、正比例函数定义形如的函数叫做正比例函)0(kkxy数，自变量的取值范围是：全体实数。二、正比例函数的图象是经过原点的一条直线。三、正比例函数的性质：（1）时，随的增kxy 0kyx大而增大，图象是经过第一、三象限的一条直线；（2）时，随的增大而减小，图象是经过第二、四象限的0kyx一条直线。四、反比例函数定义形如的函数叫做反比)0(kxky例函数，自变量的取值范围是：。0 x五、反比例函数的图象是双曲线。六、反比例函数的性质：（1）时，图象两分支xky 0k分别在第一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减yx小；（2）时，图象两分支分别在第二、四象限，在每一0k个象限内，随的增大而增大。yx53 一次函数的图象和性质（知识要点）一次函数的图象和性质（知识要点）1、定义：形如的函数)0,(kbkbkxy为常数，且叫做一次函数；正比例函数是一次函数的特例。二|一次函数的图象是一条经过点及点bkxy)0,(kb的一条直线。),0(b四、一次函数图象性质：当时，随的增大0kyx而增大，当时，随的增大而减小。0kyx00bk00bk00bk00bk命题热点命题热点由于二次函数要求降低，一次函数就显得相当受宠，在中考中，一由于二次函数要求降低，一次函数就显得相当受宠，在中考中，一次函数的概念，字母系数的条件，一次函数的解析式与图象，实际问题次函数的概念，字母系数的条件，一次函数的解析式与图象，实际问题中一次函数自变量的取值范围及图象，一次函数应用题，一次函数的性中一次函数自变量的取值范围及图象，一次函数应用题，一次函数的性质等都是考查的重点内容，也是热点，题型有填空、选择、解答题与综质等都是考查的重点内容，也是热点，题型有填空、选择、解答题与综合应用，层出不穷，花样年年翻新，特别是与几何知识的综合应用，精合应用，层出不穷，花样年年翻新，特别是与几何知识的综合应用，精题、巧题令人目不暇接，一次函数应用题则更是高潮迭起，让人拍案叫题、巧题令人目不暇接，一次函数应用题则更是高潮迭起，让人拍案叫绝。绝。54 二次函数二次函数的图象性质（知识要点）的图象性质（知识要点）cbxaxy21、定义：如，那么cbxaxy2)0,(acba为常数，叫做的二次函数。yx二、二次函数的图象二次函数的图象是一cbxaxy2条抛物线。三、二次函数的图象的性质（1）抛物线的顶点是，对称cbxaxy2)44,2(2abacab轴是直线。abx25（2）当时，抛物线开口向上；时，开口向下。0a0a（3）当，时，有最小值0aabx2y；当，时，有最大值abac4420aabx2y。abac44255 二次函数的解析式（知识要点）二次函数的解析式（知识要点）一、一般式，若已知抛物线上三)0(2acbxaxy点的坐标，把三点坐标值分别代入一般式，得到关于的三元一次方程组，求也的值，得二次函数cba,cba,的解析式。二、顶点式，若已知抛物)0()(2akhxay线的顶点坐标和抛物线上另一点坐标，将这一点坐标),(kh代入上式，求出，即可写出二次函数的解析式。a 三、交点式，若)0)()(21axxxxay已知抛物线与轴两个交点的坐标和x)0,(),0,(21xx抛物线上另一点坐标，将这一点坐标代入上式求出，即得a二次函数的解析式。第六章第六章统计初步统计初步61 中位数、众数与平均数（知识要点）中位数、众数与平均数（知识要点）一、总体与样本与样本容量（1）总体指考查对象的全体。（2）样本指从总体中抽取的一部分个体。（3）样本容量指样本中个体的数目。二、平均数（1）平均数如果有个数，那么nnxxx,21叫做这个数的平均数。)(121nxxxnxn（2）求平均数的常用方法 设所给出的几个数据，求它们的平nxxx,21均数。x基本方法：。)(121nxxxnx新数据法当数据较大时，选择一个nxxx,21与这些数比较接近的数，令a，axxaxxaxxnn,2211先计算这组新数据的平均数nxxx,21，则。)(121nxxxnxaxx加权法若出现次，出现次，1x1f2x2f出现次，且则kxkfnfffk21。)(12211kkxfxfxfnx新数据加权法新数据同，若出现次，1x1f出现次，出现次，且2x2fkxkf则nfffk21。axfxfxfnxkk)(12211三、中位数、众数（1）中位数将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。（2）众数在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。62 方差和频率分布方差和频率分布知识要点知识要点一、方差、标准差（1）方差样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫做样本方差。（2）标准差样本方差的算术平方根叫做样本标准差。（3）求方差的方法设个数据的平均数为，则其nnxxx,21x方差222212)()()(1xxxxxxnSn或。2222212)(1xnxxxnSn当数据比较大时，仿前面选择一个适当的常数，得a一组新数据axxaxxaxxnn,2211则方差00a00a00a00a62222212)(1xnxxxnSn（4）样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或标准差越大，样本数据波动就越大。二、频率分布频率分布反映的是一个样本数据在各个小范围内所占的比例的大小，要得到一个样本的频率分布情况，步骤如下：（1）计算最大值与最小值的差；（2）决定组距与级数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）绘频率分布直方图。