2025年重庆市綦江区东溪中学数学高一下期末监测模拟试题含解析.doc

2025年重庆市綦江区东溪中学数学高一下期末监测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的图像关于直线对称，则的最小值为（）
A． B． C． D．1
2．在中，角的对边分别是，已知，则（　　）
A． B． C． D．或
3．，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，若，则的面积为( ).
A．8 B．2 C． D．4
6．若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．与直线平行，且与直线交于轴上的同一点的直线方程是（）
A． B． C． D．
8．一位妈妈记录了孩子6至9岁的身高（单位：cm），所得数据如下表：
年龄（岁）
6
7
8
9
身高（cm）
118
126
136
144
由散点图可知，身高与年龄之间的线性回归方程为，预测该孩子10岁时的身高为
A．154 B．153 C．152 D．151
9．已知函数，则（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
10．过△ABC的重心任作一直线分别交边AB，AC于点D、E．若,，，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，为第二象限角，则________
12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，连接A1B，D1M，则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为________________________．

13．如图所示，正方体的棱长为3，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_____．

14．已知数列满足，，，则__________．
15．化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.
16．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为__________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知是同一平面内的三个向量，；
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
18．已知向量，，.
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）记的内角的对边分别为.若，，求的值．
19．已知在直角三角形ABC中，，（如右图所示）

（Ⅰ）若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积.
（Ⅱ）一只蚂蚁在问题（Ⅰ）形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B，求蚂蚁爬行的最短距离.
20．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值和f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0在区间[0，]上有两个实数解，求实数m的取值范围．
21．已知，设.
（1）若图象中相邻两条对称轴间的距离不小于，求的取值范围；
（2）若的最小正周期为，且当时，的最大值是，求的解析式，并说明如何由的图象变换得到的图象.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
的对称轴为，化简得到得到答案.
【详解】

对称轴为：
当时，有最小值为
故答案选C
本题考查了三角函数的对称轴，将对称轴表示出来是解题的关键，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.
2、B
【解析】
由已知知，所以B＜A=，由正弦定理得，==，所以，故选B
考点：正弦定理
3、D
【解析】由题意得 ，
，故选D.
【点睛】本题考查函数的三角恒等变换和三角函数的图像与性质，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.首先利用诱导公式和两角和差公式将 化简，再利用正弦的函数图像可得正解.
4、D
【解析】
利用基本不等式求得的最小值，根据不等式存在性问题，解一元二次不等式求得的取值范围.
【详解】
由于，而不等式有解，所以，即，解得或.
故选：D
本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查不等式存在性问题的求解，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.
5、C
【解析】
由正弦定理结合已知，可以得到的关系，再根据余弦定理结合
，可以求出的值，再利用三角形面积公式求出三角形的面积即可.
【详解】
由正弦定理可知：，而，所以有，由余弦定理可知：，所以，
因此的面积为，故本题选C.
本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.
6、D
【解析】
由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除．
【详解】
A选项不正确，因为若，，则不成立；
B选项不正确，若时就不成立；
C选项不正确，同B，时就不成立；
D选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D．
本题主要考查不等关系和不等式的基本性质，求解的关键是熟练掌握不等式的运算性质．
7、A
【解析】
直线交于轴上的点为，与直线平行得到斜率，根据点斜式得到答案.
【详解】
与直线平行
直线交于轴上的点为
设直线方程为：
代入交点得到即
故答案选A
本题考查了直线的平行关系，直线与坐标轴的交点，属于基础题型.
8、B
【解析】
试题分析：根据题意，由表格可知，身高y与年龄x之间的线性回归直线方程为，那么可知回归方程必定过样本中心点，即为（7,131）代入可知，=65，预测该学生10岁时的身高，将x=10代入方程中，即可知为153，故可知答案为B
考点：线性回归直线方程
点评：主要是考查了线性回归直线方程的回归系数的运用，属于基础题．
9、B
【解析】
根据分段函数的表达式，直接代入即可得到结论．
【详解】
由分段函数的表达式可知，
则，
故选：．
本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式求解是解决本题的关键，属于容易题．
10、B
【解析】
利用重心以及向量的三点共线的结论得到的关系式，再利用基本不等式求最小值.
【详解】
设重心为，因为重心分中线的比为，则有，，则，又因为三点共线，所以，则，取等号时.
故选B.
（1）三角形的重心是三条中线的交点，且重心分中线的比例为；
（2）运用基本不等式时，注意取等号时条件是否成立.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先求解,再求解,再利用降幂公式求解即可.
【详解】
由,又为第二象限角,
故,且.又.
故答案为：
本题主要考查了降幂公式的用法等,属于基础题型.
12、.
【解析】
连接、，取的中点，连接，可知，且是以为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案．
【详解】
如下图所示：

连接、，取的中点，连接，
在正方体中，，则四边形为平行四边形，
所以，则异面直线和所成的角为或其补角，
易知，由勾股定理可得，，
为的中点，则，在中，，
因此，异面直线和所成角的余弦值为，故答案为．
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．
13、
【解析】
该多面体为正八面体，将其转化为两个正四棱锥，通过计算两个正四棱锥的体积计算出正八面体的体积.
【详解】
以正方体所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，
也可以看作是两个正四棱锥的组合体，每一个正四棱锥的侧棱长与底面边长均为．则其中一个正四棱锥的高为h．
∴该多面体的体积V．
故答案为：
本小题主要考查正八面体、正四棱锥体积的计算，属于基础题.
14、-2
【解析】
根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果.
【详解】
根据题干表达式得到

可以得数列具有周期性，周期为3，故得到
故得到
故答案为：-2.
这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.
15、1
【解析】
原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.
16、1
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】
模拟程序的运行，可得
S=1，i=1
满足条件S<40，执行循环体，S=3，i=2
满足条件S<40，执行循环体，S=7，i=3
满足条件S<40，执行循环体，S=15，i=4
满足条件S<40，执行循环体，S=31，i=5
满足条件S<40，执行循环体，S=13，i=1
此时，不满足条件S<40，退出循环，输出i的值为1．
故答案为：1．
本题主要考查的是程序框图，属于基础题．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；（2）.
【解析】
（1）设向量，根据和得到关于的方程组，从而得到答案；（2）根据与垂直，得到的值，根据向量夹角公式得到的值，从而得到的值.
【详解】
（1）设向量，
因为，，，
所以，解得，或
所以或；
（2）因为与垂直，
所以，
所以
而，，
所以，得，
与的夹角为，所以，
因为，所以.
本题考查根据向量的平行求向量的坐标，根据向量的垂直关系求向量的夹角，属于简单题.
18、（1）最小正周期为，单调递减区间为；（2）或
【解析】
（1）由向量的数量积的运算公式和三角恒等变换的公式化简可得，再结合三角函数的性质，即可求解．
（2）由（1），根据，解得，利用正弦定理，求得，再利用余弦定理列出方程，即可求解．
【详解】
（1）由题意，向量，，
所以
，
因为，所以函数的最小正周期为，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为．
（2）由（1）函数的解析式为，
可得，解得，
又由，根据正弦定理，可得，
因为，所以，所以为锐角，
所以，
由余弦定理可得，可得，
即，解得或．
本题主要考查了向量的数量积的运算，三角恒等变换的应用，以及正弦定理和余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
19、（Ⅰ）几何体为以为半径，高的圆锥，
（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）若以为轴，直角三角形旋转一周，形成的几何体为以为半径，高的圆锥，由圆锥的表面积公式，即可求出结果．
（Ⅱ）利用侧面展开图，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B到点的距离，代入数值，即可求出结果．
【详解】
解：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，由
即，得，若以为轴旋转一周，
形成的几何体为以为半径，高的圆锥，
则，其表面积为
.
（Ⅱ）由问题（Ⅰ）的圆锥，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B到点的距离，

，
在中，由余弦定理得：
本题考查了圆锥的表面积以及侧面展开图的应用，考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
20、（Ⅰ），函数的增区间为．（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用三角函数恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性，即可求得结论；
（Ⅱ）由题意，函数的图象和直线在区间上有两个不同的交点，利用正弦函数的定义域和值域，以及正弦函数的图象特征，即可求解的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）由题意，函数

所以函数的最小正周期为，∴，即 ．
令，求得，
可得函数的增区间为．
（Ⅱ）在区间上，则，则，
即，
关于x的方程在区间上有两个实数解，
则的图象和直线在区间上有两个不同的交点，
则．
本题主要考查了三角恒等变换，以及正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及把关于x的方程在区间上有两个实数解，转化为两个函数图象的交点个数是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
21、（1）；（2）;平移变换过程见解析.
【解析】
（1）根据平面向量的坐标运算,表示出的解析式,结合辅助角公式化简三角函数式.结合相邻两条对称轴间的距离不小于及周期公式,即可求得的取值范围;
（2）根据最小正周期,求得的值.代入解析式,结合正弦函数的图象、性质与的最大值是,即可求得的解析式.再根据三角函数图象平移变换,即可描述变换过程.
【详解】
∵
∴
∴

（1）由题意可知,
∴
又,
∴
（2）∵,
∴
∴
∵,
∴
∴当即时

∴
∴
将图象上所有点向右平移个单位,得到的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到的图象（或将图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到的图象；再将得到的图象上所有点向右平移个单位,得到的图象）
本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用,根据最值求三角函数解析式,三角函数图象平移变换过程,属于中档题.