2025届福建省龙岩市数学高一第二学期期末统考试题含解析.doc

2025届福建省龙岩市数学高一第二学期期末统考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．过点且与圆相切的直线方程为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
2．若，且，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数中,在区间上为增函数的是
A． B．
C． D．
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．
5．已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为
A． B． C． D．
6．已知x､y的取值如下表:
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程，则当时，估计y的值为（ ）
A．7.1 B．7.35 C．7.95 D．8.6
7．已知，则的垂直平分线所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．的弧度数是（ ）
A． B． C． D．
9．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用（万元）

4

2

3

5

销售额（万元）

49

26

39

54

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元
10．已知点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率满足( )
A．或 B．或 C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．数列中，若，，则______；
12．已知函数的最小正周期为，若将该函数的图像向左平移个单位后，所得图像关于原点对称，则的最小值为________.
13．不等式的解集是______．
14．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.

15．某奶茶店的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:)之间的关系如下:
x

0
1
2
y
5

2
2
1
通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程:； 但现在丢失了一个数据，该数据应为____________.
16．已知为第二象限角，且，则_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设数列，满足：，，，，.
（1）写出数列的前三项；
（2）证明：数列为常数列，并用表示；
（3）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式.
18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB=AD，BD⊥CD，点E、F分别是棱BC、BD的中点．

（1）求证：EF∥平面ACD；
（2）求证：AE⊥BD．
19．已知圆与圆：关于直线对称．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知点，若与直线垂直的直线与圆交于不同两点、，且是钝角，求直线在轴上的截距的取值范围．
20．已知向量，.
（1）当时，求的值；
（2）设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，求的取值范围.
21．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别是240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动。
（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作，求事件M“抽取的2名同学来自同一年级”发生的概率。
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
分别考虑斜率存在和不存在两种情况得到答案.
【详解】
如图所示：
当斜率不存在时：
当斜率存在时：设

故答案选C
本题考查了圆的切线问题，忽略掉斜率不存在是容易发生的错误.
2、A
【解析】
将代数式与相乘，展开式利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为解不等式，解出即可.
【详解】
由基本不等式得，
当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.
由题意可得，即，解得.
因此，实数的取值范围是，故选A.
本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．
3、A
【解析】
试题分析：对A，函数在上为增函数，符合要求；
对B，在上为减函数，不符合题意；
对C，为上的减函数，不符合题意；
对D，在上为减函数，不符合题意.
故选A.
考点：函数的单调性，容易题.
4、B
【解析】
由正弦定理可得，，代入即可求解．
【详解】
∵，，∴由正弦定理可得，，
则.
故选：B．
本题考查正弦定理的简单应用，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题．
5、A
【解析】
根据对称性，求得，求得圆的圆心坐标，再根据直线l为线段C1C2的垂直平分线，求得直线的斜率，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，圆的方程，可化为，
根据对称性，可得：，解得：或（舍去，此时半径的平方小于0，不符合题意），
此时C1(0，0)，C2(－1，2)，直线C1C2的斜率为：，
由圆C1和圆C2关于直线l对称可知：直线l为线段C1C2的垂直平分线，
所以，解得，直线l又经过线段C1C2的中点(，1)，
所以直线l的方程为：，化简得：，
故选A
本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系，合理应用圆对称性是解答本题的关键，其中着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6、B
【解析】
计算，，代入回归方程计算得到，再计算得到答案.
【详解】
，，故，解得.
当，.
故选：
本题考查了回归方程的应用，意在考查学生的计算能力.
7、A
【解析】
首先根据题中所给的两个点的坐标，应用中点坐标公式求得线段的中点坐标，利用两点斜率坐标公式求得，利用两直线垂直时斜率的关系，求得其垂直平分线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，化简求得结果.
【详解】
因为，所以其中点坐标是，又，
所以的垂直平分线所在直线方程为，
即，故选A.
该题考查的是有关线段的垂直平分线的方程的问题，在解题的过程中，需要明确线段的垂直平分线的关键点一是垂直，二是平分，利用相关公式求得结果.
8、B
【解析】
由角度与弧度的关系转化．
【详解】
-150．
故选：B.
本题考查角度与弧度的互化，解题关键是掌握关系式：．
9、B
【解析】
试题分析：，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程中的为1.4，
∴42=1．4×2．5+a，
∴=1．1，
∴线性回归方程是y=1．4x+1．1，
∴广告费用为6万元时销售额为1．4×6+1．1=3．5
考点：线性回归方程
10、A
【解析】
画出三点的图像，根据的斜率，求得直线斜率的取值范围.
【详解】
如图所示，过点作直线轴交线段于点，作由直线①直线与线段的交点在线段 (除去点)上时，直线的倾斜角为钝角，斜率的范围是.②直线与线段的交点在线段 (除去点)上时，直线的倾斜角为锐角，斜率的范围是.因为，，所以直线的斜率满足或.
故选:A.

本小题主要考查两点求斜率的公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先分组求和得，再根据极限定义得结果.
【详解】
因为，，……，，
所以
则.
本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.
12、
【解析】
先利用周期公式求出，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出的表达式，即可求出的最小值．
【详解】
由得，所以，向左平移个单位后，得到，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有，则，故的最小值为．
本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及 型的函数奇偶性判断条件．一般地为奇函数，则；为偶函数，则；为奇函数，则；为偶函数，则．
13、
【解析】
由题可得，分式化乘积得，进而求得解集．
【详解】
由移项通分可得，即，解得，
故解集为
本题考查分式不等式的解法，属于基础题．
14、
【解析】
求出长方体体积与三棱锥的体积后即可得到棱锥的体积与剩下的几何体体积之比.
【详解】
设长方体长宽高分别为，，，
所以长方体体积，
三棱锥体积，
所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的之比为：
.
故答案为：.
本题主要考查了长方体体积公式，三棱锥体积公式，属于基础题.
15、4
【解析】
根据回归直线经过数据的中心点可求.
【详解】
设丢失的数据为，则，，
把代入回归方程可得，
故答案为：4.
本题主要考查回归直线的特征，明确回归直线一定经过样本数据的中心点是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
16、.
【解析】
先由求出的值，再利用同角三角函数的基本关系式求出、即可.
【详解】
因为为第二象限角，且，所以，解得，再由及为第二象限角可得、，此时.
故答案为：.
本题主要考查两角差的正切公式及同角三角函数的基本关系式的应用，属常规考题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），，（2）证明见解析,（3）证明见解析,
【解析】
（1）利用递推关系式直接求解即可.
（2）由整理化简得，从而可证出结论.
（3）首先由递推关系式证出，再由对数的运算性质以及等比数列的定义即可证出.
利用
【详解】
（1），，；
（2）证明：，
∴为常数列4，即，∴；
（3）
，
∴是以为首项，2为公比的等比数列，
∴.
本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质、等比数列的定义，属于中档题.
18、（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）证明EF∥CD，然后利用直线与平面平行的判断定理证明EF∥平面ACD；
（2）证明BD⊥平面AEF，然后说明AE⊥BD．
【详解】
（1）因为点E、F分别是棱BC、BD的中点，
所以EF是△BCD的中位线，
所以EF∥CD，又因为EF⊄平面ACD，CD⊂平面ACD，
EF∥平面ACD．
（2）由（1）得，EF∥CD，又因为BD⊥CD，所以EF⊥BD，
因为AB=AD，点F是棱BD的中点，所以AF⊥BD，
又因为EF∩AF=F，所以BD⊥平面AEF，
又因为AE⊂平面AEF，
所以AE⊥BD．
本题考查直线与平面垂直的性质以及直线与平面平行的判断定理的应用，考查逻辑推理能力与空间想象能力，是基本知识的考查．
19、（1）；（2）
【解析】
（1）根据两圆对称，直径一样，只需圆心对称即可得圆C的标准方程；（2）设直线l的方程为y＝﹣x+m与圆C联立方程组，利用韦达定理，设而不求的思想即可求解b范围，即截距的取值范围．
【详解】
（1）圆的圆心坐标为，半径为2
设圆的圆心坐标为，由题意可知

解得：
由对称性质可得，圆的半径为2，所以圆的标准方程为：
（2）设直线的方程为，联立得：，
设直线与圆的交点，，
由，得，
（1）
因为为钝角，所以，且直线不过点
即满足，且
又，，
所以（2）
由（1）式（2）式可得，满足，即，
因为，所以直线在轴上的截距的取值范围是
本题考查直线与圆的位置关系，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．
20、 (1) ；(2)
【解析】
（1）由共线向量的坐标运算化简可得，将化切后代入即可（2）利用向量的坐标运算化简，利用正弦定理求,根据角的范围求值域即可.
【详解】
（1）∵，，且；
∴，
∴；
∴；
（2）∵

；
在中，由正弦定理得，
∴，
∴，或；
又∵，∴，
∴

，
∵，∴；
∴，
∴；
即的取值范围是．
本题主要考查了向量数量积的坐标运算，三角恒等式，型函数的值域，属于中档题.
21、 (1) 应分别从甲、乙、丙三个年级分别抽取3人，2人，2人 (2)
【解析】
（1）由分层抽样的性质可得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2，可得抽取7名同学，应分别从甲、乙、丙三个年级分别抽取3人，2人，2人；
(2) 从抽出的7名同学中随机抽取2名的所有可能结果为21种，其中2名同学来自同一年级的所有可能结果为5种，可得答案.
【详解】
解：
（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2
因为采取分层抽样的方法抽取7名同学，所以应分别从甲、乙、丙三个年级分别抽取3人，2人，2人
（2）从抽出的7名同学中随机抽取2名的所有可能结果为：
AB AC AD AE AF AG BC
BD BE BF BG CD CE CF 共21种
CG DE DF DG EF EG FG
不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，
来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，
则2名同学来自同一年级的所有可能结果为：
AB，AC，BC，DE，FG共5种

本题主要考查分层抽样及利用列举法求时间发生的概率，相对简单.