安徽省合肥市区属中学2024-2025学年高一数学第二学期期末经典试题含解析.doc

安徽省合肥市区属中学2024-2025学年高一数学第二学期期末经典试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知正方体ABCD-ABCD中,E、F分别为BB、CC的中点,那么异面直线AE与DF所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
2．已知等差数列的前项和为，，，则使取得最大值时的值为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
3．同时掷两枚骰子，则向上的点数相等的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数f（x）=loga（x2–ax+2）在区间（0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，3） B．（2，3） C．[2，+∞） D．（2，+∞）
5．直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为(　　)
A．－12 B．－14 C．10 D．8
6．在中，设角 的对边分别为．若，则是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
7．直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
8．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
9．在中，已知、、分别是角、、的对边，若，则的形状为
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
10．已知向量，，若，，则的最大值为( )
A． B． C．4 D．5
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．__________．
12．函数f(x)＝coscos的最小正周期为________．
13．已知向量，，则______.
14．已知数列满足，（），则________.
15．若数列满足，，，则______.
16．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，，求值.
18．已知函数
(1)求的最值、单调递减区间；
（2）先把的图象向左平移个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的值.
19．已知无穷数列，是公差分别为、的等差数列，记（），其中表示不超过的最大整数，即.
（1）直接写出数列，的前4项，使得数列的前4项为：2，3，4，5；
（2）若，求数列的前项的和；
（3）求证：数列为等差数列的必要非充分条件是.
20．已知向量，.
（1）当时，求的值；
（2）设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，求的取值范围.
21．已知函数，且．
（1）求的值；
（2）求的最小正周期及单调递增区间．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
连接DF,因为DF与AE平行,所以∠DFD即为异面直线AE与DF所成角的平面角,设正方体的棱长为2,则FD=FD=,由余弦定理得cos ∠DFD==.
2、D
【解析】
由题意求得数列的通项公式为，令，解得，即可得到答案.
【详解】
由题意，根据等差数列的性质，可得，即
又由，即，
所以等差数列的公差为，
又由，解得，
所以数列的通项公式为，
令，解得，
所以使得取得最大值时的值为8，故选D.
本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及前n项和最值问题，其中解答中熟记等差数列的性质和通项公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3、D
【解析】
利用古典概型的概率公式即可求解.
【详解】
同时掷两枚骰子共有种情况，其中向上点数相同的有种情况，
其概率为.
故选：D
本题考查了古典概型的概率计算公式，解题的关键是找出基本事件个数，属于基础题.
4、A
【解析】
函数为函数与的复合函数，复合函数的单调性是同则增，异则减，讨论，，结合二次函数的单调性，同时还要保证真数恒大于零，由二次函数的图象和性质列不等式即可求得的范围.
【详解】
∵函数在区间上为单调递减函数，
∴时，在上为单调递减函数，
且在上恒成立，
∴需在上的最小值，
且对称轴，∴，
当时，在上为单调递增函数，不成立，
综上可得的范围是，
故选：A．
本题考查了对数函数的图象和性质，二次函数图象和性质，复合函数的定义域与单调性，不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法，属于中档题.
5、A
【解析】
由直线mx+4y﹣2=0与直线2x﹣5y+n=0垂直，求出m=10，把（1，p）代入10x+4y﹣2=0，
求出p=﹣2，把（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，能求出n．
【详解】
∵直线mx+4y﹣2=0与直线2x﹣5y+n=0垂直，垂足为（1，p），
∴2m﹣4×5=0，
解得m=10，
把（1，p）代入10x+4y﹣2=0，得10+4p﹣2=0，解得p=﹣2，
把（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，得2+10+n=0，
解得n=﹣1．
故答案为：A
本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查
函数与方程思想，是基础题．
6、D
【解析】
根据正弦定理，将等式中的边a,b消去，化为关于角A,B的等式，整理化简可得角A,B的关系，进而确定三角形．
【详解】
由题得，整理得，因此有，可得或，当时，为等腰三角形；当时，有，为直角三角形，故选D．
这一类题目给出的等式中既含有角又含有边的关系，通常利用正弦定理将其都化为关于角或者都化为关于边的等式，再根据题目要求求解．
7、C
【解析】
由直线方程求出直线的斜率，即得倾斜角的正切值，从而求出倾斜角．
【详解】
设直线的倾斜角为，
由，得：，
故中直线的斜率，
∵，
∴；
故选C．
本题考查了直线的倾斜角与斜率的问题，是基础题．
8、C
【解析】
分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，由子集的定义可得结果.
详解：，
，，故选C.
点睛：本题主要考查解一元二次不等式，集合的子集的定义，属于容易题，在解题过程中要注意考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.
9、D
【解析】
由，利用正弦定理可得，进而可得sin2A=sin2B，由此可得结论．
【详解】
∵，
∴由正弦定理可得
∴sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A+2B=π
∴A=B或A+B=
∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形
故选D．
判断三角形形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
10、A
【解析】
设，由可得点的轨迹方程，再对两边平方，利用一元二次函数的性质求出最大值，即可得答案.
【详解】
设，，
∵，∴，
整理得：.
∵，
∴，
当时，的最大值为，
∴的最大值为.
故选：A.
本题考查向量模的最值、模的坐标运算、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的运用.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
在分式的分子和分母上同时除以，然后利用极限的性质来进行计算.
【详解】
，故答案为：.
本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉一些常见的极限，并充分利用极限的性质来进行计算，考查计算能力，属于基础题.
12、2
【解析】
f(x)＝coscos＝cos·sin＝sinπx，最小正周期为T＝＝2
13、
【解析】
求出，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算．
【详解】
由题意得，.，.
，，
.
故答案为：．
本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算．
14、31
【解析】
根据数列的首项及递推公式依次求出、、……即可.
【详解】
解：，

故答案为：
本题考查利用递推公式求出数列的项，属于基础题.
15、
【解析】
由，化简得，则为等差数列，结合已知条件得.
【详解】
由，化简得，且，，
得，所以是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，即
故答案为：
本题考查了数列的递推式，考查了判断数列是等差数列的方法，属于中档题.
16、1
【解析】
应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为1．
点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）由的横坐标缩小为原来的，向左平移个单位长度，可得函数，令，解不等式即可求得本题答案；
（2）由，可得，又由，即可得到本题答案.
【详解】
解：（1）由题意，得
令，解得
所以，函数的单调递增区间为：
（2），，
又，得，
由，得， .
本题主要考查三角函数的伸缩平移，三角函数的图象与性质以及利用和差公式求值.
18、（1），，单调递减区间为；
（2）.
【解析】
（1）函数，得最大值为，并解不等式，得到函数的单调递减区间；
（2）由平移变换、伸缩变换得到函数，再把代入求值.
【详解】
（1）因为，
所以当时，，
当时，.
由，
所以函数的单调递减区间为.
（2）的图象向左平移个单位得：，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得：，
当时，.
本题考查三角函数中的辅助角公式、三角函数的性质、图象变换等知识，对三角函数图象与性质进行综合考查.
19、（1）的前4项为1，2，3，4，的前4项为1，1，1，1；（2）；（3）证明见解析
【解析】
（1）根据定义，选择，的前4项，尽量选用整数计算方便；（2）分别考虑，的前项的规律，然后根据计算的运算规律计算；（3）根据必要不充分条件的推出情况去证明即可.
【详解】
（1）由的前4项为：2，3，4，5，选、的前项为正整数：的前4项为1，2，3，4，的前4项为1，1，1，1；
（2）将的前项列举出：；将的前项列举出：；
则；
（3）充分性：取，此时，将的前项列举出：，将前项列出：，此时的前项为：，显然不是等差数列，充分性不满足；必要性：设，，当为等差数列时，因为，所以 ，又因为，所以有：
，且，所以；，，
不妨令，则有如下不等式：；
当时，令，则当时，
，此时无解；
当时，令，则当时，
，此时无解；
所以必有：，故：必要性满足；
综上：数列为等差数列的必要非充分条件是
本题考查数列的定义以及证明，难度困难.对于充分必要条件的证明，需要对充分性和必要性同时分析，不能取其一分析；新定义的数列问题，可通过定义先理解定义的含义，然后再分析问题.
20、 (1) ；(2)
【解析】
（1）由共线向量的坐标运算化简可得，将化切后代入即可（2）利用向量的坐标运算化简，利用正弦定理求,根据角的范围求值域即可.
【详解】
（1）∵，，且；
∴，
∴；
∴；
（2）∵

；
在中，由正弦定理得，
∴，
∴，或；
又∵，∴，
∴

，
∵，∴；
∴，
∴；
即的取值范围是．
本题主要考查了向量数量积的坐标运算，三角恒等式，型函数的值域，属于中档题.
21、（1）；（2）最小正周期为,单调递增区间为，.
【解析】
（1）因为，所以，化简解方程即得．（2）由（1）可得求出函数的最小正周期，再利用复合函数和三角函数的图像和性质求函数的单调递增区间得解.
【详解】
解：（1）因为，所以，
所以，即，解得．
（2）由（1）可得，
则的最小正周期为．
令，，
解得，，
故的单调递增区间为，．
本题主要考查三角恒等变换和三角求值，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.